Seja o espaço dos polinômios de grau e considere: .
(a) Verifique que é l.d.
(b) Encontre uma combinação linear em que algum dos coeficientes é diferente de 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu quatro polinômios no espaço (que são os polinômios de grau até 3) e a gente precisa verificar se eles são linearmente dependentes. Se forem, a gente também vai encontrar uma combinação linear desses polinômios que dá zero, mas com pelo menos um coeficiente diferente de zero. Para isso, vamos precisar lembrar de como montar um sistema de equações igualando a combinação linear a zero e resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear que queremos igualar a zero:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Somando tudo:
Passo 4
Como queremos que isso seja zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vou tentar resolver por eliminação.
Primeiro, da terceira equação:
Podemos isolar :
Passo 6
Agora, substituímos nas outras equações.
Na primeira equação:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Dividindo por 5:
Ou seja:
Passo 7
Agora, substituímos e na quarta equação:
Simplificando:
Isso confirma que a equação é verdadeira, o que nos dá uma relação entre as variáveis.
Passo 8
Vamos agora usar a segunda equação:
Substituindo e :
Simplificando:
Novamente, confirmamos que é uma identidade, o que indica que há infinitas soluções, ou seja, os polinômios são linearmente dependentes.
Resposta
Sim, os polinômios são linearmente dependentes. Uma combinação linear que satisfaz é, por exemplo:
onde os coeficientes , , e são diferentes de zero.