Conjunto das funções tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o conjunto das funções que satisfazem a condição para todo real. Isso quer dizer que estamos lidando com funções periódicas que se repetem a cada unidades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções periódicas e como identificar ou caracterizar essas funções com período .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função é dita periódica se existir um número positivo tal que:
Aqui, é chamado de período da função. No nosso caso, o período é , ou seja, a função se repete a cada unidades.

Passo 3

Agora, vamos pensar em exemplos de funções periódicas com período . As mais conhecidas são as funções trigonométricas seno e cosseno:
Essas funções repetem seus valores a cada unidades, o que as torna periódicas com período .

Passo 4

Além das funções seno e cosseno, qualquer combinação linear dessas funções também será periódica com o mesmo período. Por exemplo:
Onde e são constantes. Essa função também satisfaz , mantendo o caráter periódico.

Passo 5

Mais geral ainda, qualquer função que possa ser expressa como uma série de Fourier com harmônicos inteiros de também pertence a esse conjunto. Isso inclui uma grande variedade de funções periódicas.

Resposta

Portanto, o conjunto das funções que satisfazem para todo é o conjunto de todas as funções periódicas com período . Isso inclui funções como seno, cosseno, e combinações lineares dessas, além de outras funções que se repetem a cada unidades.

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Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .
Seja um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto é um subespaço de .
Considere as bases ordenadas e do dadas por e . Considere a base ordenada canônica .
(1) Calcule e .
(2) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(3) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(4) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
Determine se o conjunto com as operações
É um espaço vetorial. E for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos.