Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o conjunto das funções que satisfazem a condição para todo real. Isso quer dizer que estamos lidando com funções periódicas que se repetem a cada unidades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções periódicas e como identificar ou caracterizar essas funções com período .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função é dita periódica se existir um número positivo tal que:
Aqui, é chamado de período da função. No nosso caso, o período é , ou seja, a função se repete a cada unidades.
Passo 3
Agora, vamos pensar em exemplos de funções periódicas com período . As mais conhecidas são as funções trigonométricas seno e cosseno:
Essas funções repetem seus valores a cada unidades, o que as torna periódicas com período .
Passo 4
Além das funções seno e cosseno, qualquer combinação linear dessas funções também será periódica com o mesmo período. Por exemplo:
Onde e são constantes. Essa função também satisfaz , mantendo o caráter periódico.
Passo 5
Mais geral ainda, qualquer função que possa ser expressa como uma série de Fourier com harmônicos inteiros de também pertence a esse conjunto. Isso inclui uma grande variedade de funções periódicas.
Resposta
Portanto, o conjunto das funções que satisfazem para todo é o conjunto de todas as funções periódicas com período . Isso inclui funções como seno, cosseno, e combinações lineares dessas, além de outras funções que se repetem a cada unidades.