Conjunto das funções tais que f(x+2 pi)=f(x), forall x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o conjunto das funções que satisfazem a condição para todo real. Isso quer dizer que estamos lidando com funções periódicas que se repetem a cada unidades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções periódicas e como identificar ou caracterizar essas funções com período .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função f(x + T) = f(x) para todo x in R é dita periódica se existir um número positivo tal que:
Aqui, é chamado de período da função. No nosso caso, o período é , ou seja, a função se repete a cada unidades.

Passo 3

Agora, vamos pensar em exemplos de funções periódicas com período sin(x + 2pi) = sin(x) . As mais conhecidas são as funções trigonométricas seno e cosseno:
cos(x + 2pi) = cos(x)
Essas funções repetem seus valores a cada unidades, o que as torna periódicas com período .

Passo 4

Além das funções seno e cosseno, qualquer combinação linear dessas funções também será periódica com o mesmo período. Por exemplo:
f(x) = A sin(x) + B cos(x)
Onde e são constantes. Essa função também satisfaz , mantendo o caráter periódico.

Passo 5

Mais geral ainda, qualquer função que possa ser expressa como uma série de Fourier com harmônicos inteiros de também pertence a esse conjunto. Isso inclui uma grande variedade de funções periódicas.

Resposta

Portanto, o conjunto das funções que satisfazem para todo é o conjunto de todas as funções periódicas com período . Isso inclui funções como seno, cosseno, e combinações lineares dessas, além de outras funções que se repetem a cada unidades.

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