Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes com entradas específicas que dependem das variáveis , e . Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de e, em seguida, encontrar uma base para .
Para resolver isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos de álgebra linear:
  • Subespaço Vetorial: Um conjunto é um subespaço se ele contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares.
  • Base: Um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um subespaço. Para isso, precisamos checar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar, então está em .

Passo 3

1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em é a matriz onde todas as entradas são zero. Vamos ver se conseguimos obter essa matriz colocando na expressão de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando a adição:
Vamos pegar duas matrizes e em , ou seja:
Vamos somar :
Podemos ver que a soma também tem a mesma estrutura, ou seja, está em . Então, é fechada sob adição.

Passo 5

3. Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz em e um escalar :
Vamos multiplicar por :
Observamos que também segue a mesma estrutura de , já que as entradas continuam dependendo linearmente de , e . Portanto, é fechada sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço de .
Agora, vamos encontrar uma base para .

Passo 7

Para achar uma base, precisamos identificar um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Olhando para a definição de , vemos que as matrizes são determinadas pelas variáveis , e . Isso sugere que podemos expressar qualquer matriz em como uma combinação linear dessas variáveis.
Vamos expressar a matriz geral de em termos de , e :
Onde:

Passo 8

Vamos verificar se essas matrizes , e são linearmente independentes.
Assumamos que existe uma combinação linear que resulta na matriz zero:
Isso significa que cada entrada correspondente deve ser zero. Analisando as entradas, concluímos que a única solução é , o que mostra que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 9

Como temos três matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço , elas formam uma base para .

Resposta

O conjunto é um subespaço de e uma base para é formada pelas matrizes , e definidas por:

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto é um subespaço de .
Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto de todos os vetores em com .
Conjunto das funções tais que .
Considere as bases ordenadas e do dadas por e . Considere a base ordenada canônica .
(1) Calcule e .
(2) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(3) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .
(4) Calcule a matriz mudança de base entre a base e .