Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes com entradas específicas que dependem das variáveis , e . Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de e, em seguida, encontrar uma base para .
Para resolver isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos de álgebra linear:
Subespaço Vetorial: Um conjunto é um subespaço se ele contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares.
Base: Um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é um subespaço. Para isso, precisamos checar três coisas:
O vetor zero está em .
Se e estão em , então também está em .
Se está em e é um escalar, então está em .
Passo 3
1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em é a matriz onde todas as entradas são zero. Vamos ver se conseguimos obter essa matriz colocando na expressão de :
Então, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Verificando a adição:
Vamos pegar duas matrizes e em , ou seja:
Vamos somar :
Podemos ver que a soma também tem a mesma estrutura, ou seja, está em . Então, é fechada sob adição.
Passo 5
3. Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz em e um escalar :
Vamos multiplicar por :
Observamos que também segue a mesma estrutura de , já que as entradas continuam dependendo linearmente de , e . Portanto, é fechada sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço de .
Agora, vamos encontrar uma base para .
Passo 7
Para achar uma base, precisamos identificar um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Olhando para a definição de , vemos que as matrizes são determinadas pelas variáveis , e . Isso sugere que podemos expressar qualquer matriz em como uma combinação linear dessas variáveis.
Vamos expressar a matriz geral de em termos de , e :
Onde:
Passo 8
Vamos verificar se essas matrizes , e são linearmente independentes.
Assumamos que existe uma combinação linear que resulta na matriz zero:
Isso significa que cada entrada correspondente deve ser zero. Analisando as entradas, concluímos que a única solução é , o que mostra que as matrizes são linearmente independentes.
Passo 9
Como temos três matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço , elas formam uma base para .
Resposta
O conjunto é um subespaço de e uma base para é formada pelas matrizes , e definidas por: