Mostre que o conjunto E subset R^4 times 5 é um subespaço de R^4 times 5 e ache uma base para E.
E=(ccccc x & y & 0 & 0 & 0 0 & x-y & x+y+z & 0 & 0 0 & y & y & x & 0 0 & 0 & x+y & z & 3 z ) ; x, y e z in R

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto E de matrizes 4 times 5 com entradas específicas que dependem das variáveis x, y e z. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de R^4 times 5 e, em seguida, encontrar uma base para E.
Para resolver isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos de álgebra linear:
  • Subespaço Vetorial: Um conjunto é um subespaço se ele contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares.
  • Base: Um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se E é um subespaço. Para isso, precisamos checar três coisas:
  1. O vetor zero está em E.
  2. Se A e B estão em E, então A + B também está em E.
  3. Se A está em E e c é um escalar, então cA está em E.

Passo 3

1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em R^4 times 5 é a matriz onde todas as entradas são zero. Vamos ver se conseguimos obter essa matriz colocando x = y = z = 0 na expressão de E:
(ccccc 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0-0 & 0+0+0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0+0 & 0 & 3 cdot 0 ) = (ccccc 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Então, o vetor zero está em E.

Passo 4

2. Verificando a adição:
Vamos pegar duas matrizes A e B em E, ou seja:
A = (ccccc x1 & y1 & 0 & 0 & 0 0 & x1 - y1 & x1 + y1 + z1 & 0 & 0 0 & y1 & y1 & x1 & 0 0 & 0 & x1 + y1 & z1 & 3 z1 )
B = (ccccc x2 & y2 & 0 & 0 & 0 0 & x2 - y2 & x2 + y2 + z2 & 0 & 0 0 & y2 & y2 & x2 & 0 0 & 0 & x2 + y2 & z2 & 3 z2 )
Vamos somar A + B:
A + B = (ccccc x1 + x2 & y1 + y2 & 0 & 0 & 0 0 & (x1 - y1) + (x2 - y2) & (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) & 0 & 0 0 & y1 + y2 & y1 + y2 & x1 + x2 & 0 0 & 0 & (x1 + y1) + (x2 + y2) & z1 + z2 & 3(z1 + z2) )
Podemos ver que a soma A + B também tem a mesma estrutura, ou seja, está em E. Então, E é fechada sob adição.

Passo 5

3. Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz A em E e um escalar c in R:
A = (ccccc x & y & 0 & 0 & 0 0 & x - y & x + y + z & 0 & 0 0 & y & y & x & 0 0 & 0 & x + y & z & 3 z )
Vamos multiplicar A por c:
cA = (ccccc c x & c y & 0 & 0 & 0 0 & c(x - y) & c(x + y + z) & 0 & 0 0 & c y & c y & c x & 0 0 & 0 & c(x + y) & c z & 3 c z )
Observamos que cA também segue a mesma estrutura de E, já que as entradas continuam dependendo linearmente de x, y e z. Portanto, E é fechada sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como E satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que E é, de fato, um subespaço de R^4 times 5.
Agora, vamos encontrar uma base para E.

Passo 7

Para achar uma base, precisamos identificar um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço E. Olhando para a definição de E, vemos que as matrizes são determinadas pelas variáveis x, y e z. Isso sugere que podemos expressar qualquer matriz em E como uma combinação linear dessas variáveis.
Vamos expressar a matriz geral de E em termos de x, y e z:
(ccccc x & y & 0 & 0 & 0 0 & x - y & x + y + z & 0 & 0 0 & y & y & x & 0 0 & 0 & x + y & z & 3 z ) = x cdot A1 + y cdot A2 + z cdot A3
Onde:
A1 = (ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 ), A2 = (ccccc 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 ), A3 = (ccccc 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 3 )

Passo 8

Vamos verificar se essas matrizes A1, A2 e A3 são linearmente independentes.
Assumamos que existe uma combinação linear que resulta na matriz zero:
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0
Isso significa que cada entrada correspondente deve ser zero. Analisando as entradas, concluímos que a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, o que mostra que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 9

Como temos três matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço E, elas formam uma base para E.

Resposta

O conjunto E é um subespaço de R^4 times 5 e uma base para E é formada pelas matrizes A1, A2 e A3 definidas por:
A1 = (ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 ), A2 = (ccccc 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 ), A3 = (ccccc 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 3 )

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