Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto E de matrizes 4 times 5 com entradas específicas que dependem das variáveis x, y e z. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de R^4 times 5 e, em seguida, encontrar uma base para E.
Para resolver isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos de álgebra linear:
Subespaço Vetorial: Um conjunto é um subespaço se ele contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares.
Base: Um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se E é um subespaço. Para isso, precisamos checar três coisas:
O vetor zero está em E.
Se A e B estão em E, então A + B também está em E.
Se A está em E e c é um escalar, então cA está em E.
Passo 3
1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em R^4 times 5 é a matriz onde todas as entradas são zero. Vamos ver se conseguimos obter essa matriz colocando x = y = z = 0 na expressão de E:
Podemos ver que a soma A + B também tem a mesma estrutura, ou seja, está em E. Então, E é fechada sob adição.
Passo 5
3. Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz A em E e um escalar c in R:
A = (ccccc x & y & 0 & 0 & 0 0 & x - y & x + y + z & 0 & 0 0 & y & y & x & 0 0 & 0 & x + y & z & 3 z )
Vamos multiplicar A por c:
cA = (ccccc c x & c y & 0 & 0 & 0 0 & c(x - y) & c(x + y + z) & 0 & 0 0 & c y & c y & c x & 0 0 & 0 & c(x + y) & c z & 3 c z )
Observamos que cA também segue a mesma estrutura de E, já que as entradas continuam dependendo linearmente de x, y e z. Portanto, E é fechada sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como E satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que E é, de fato, um subespaço de R^4 times 5.
Agora, vamos encontrar uma base para E.
Passo 7
Para achar uma base, precisamos identificar um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço E. Olhando para a definição de E, vemos que as matrizes são determinadas pelas variáveis x, y e z. Isso sugere que podemos expressar qualquer matriz em E como uma combinação linear dessas variáveis.
Vamos expressar a matriz geral de E em termos de x, y e z:
(ccccc x & y & 0 & 0 & 0 0 & x - y & x + y + z & 0 & 0 0 & y & y & x & 0 0 & 0 & x + y & z & 3 z ) = x cdot A1 + y cdot A2 + z cdot A3
Vamos verificar se essas matrizes A1, A2 e A3 são linearmente independentes.
Assumamos que existe uma combinação linear que resulta na matriz zero:
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0
Isso significa que cada entrada correspondente deve ser zero. Analisando as entradas, concluímos que a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, o que mostra que as matrizes são linearmente independentes.
Passo 9
Como temos três matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço E, elas formam uma base para E.
Resposta
O conjunto E é um subespaço de R^4 times 5 e uma base para E é formada pelas matrizes A1, A2 e A3 definidas por: