Seja um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto é um subespaço de .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: Temos um conjunto dentro do espaço vetorial . Precisamos verificar se é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se satisfizer três condições:
O vetor zero está em .
é fechado para adição de vetores.
é fechado para multiplicação por escalares.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
Condição 1: O vetor zero está em .
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz as condições de :
: → verdadeiro.
: → verdadeiro.
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
Condição 2: é fechado para adição de vetores.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Suponha que e estão em . Isso significa que:
e
e
Agora, somamos . Vamos verificar se esse vetor também está em :
Isso mostra que satisfaz as mesmas condições que os vetores de , ou seja, e . Portanto, é fechado para adição.
Passo 5
Condição 3: é fechado para multiplicação por escalares.
Vamos pegar um vetor em e um escalar . Sabemos que:
Multiplicando por , obtemos . Vamos verificar as condições:
Portanto, também satisfaz e , ou seja, está em . Assim, é fechado para multiplicação por escalares.