Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=(x, y, z) in R^3 mid y=-x, z=2 x

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: Temos um conjunto dentro do espaço vetorial . Precisamos verificar se é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se satisfizer três condições:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado para adição de vetores.
  3. é fechado para multiplicação por escalares.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

Condição 1: O vetor zero está em .
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz as condições de :
  • : → verdadeiro.
  • : → verdadeiro.
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

Condição 2: é fechado para adição de vetores.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Suponha que e estão em . Isso significa que:
  • e
  • e
Agora, somamos . Vamos verificar se esse vetor também está em :
Isso mostra que satisfaz as mesmas condições que os vetores de , ou seja, e . Portanto, é fechado para adição.

Passo 5

Condição 3: é fechado para multiplicação por escalares.
Vamos pegar um vetor em e um escalar . Sabemos que:
Multiplicando por , obtemos . Vamos verificar as condições:
Portanto, também satisfaz e , ou seja, está em . Assim, é fechado para multiplicação por escalares.

Resposta

Sim, o subconjunto é um subespaço de .

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