Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: Temos um conjunto
dentro do espaço vetorial
. Precisamos verificar se
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se satisfizer três condições:
- O vetor zero está em
. -
é fechado para adição de vetores. -
é fechado para multiplicação por escalares.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
Condição 1: O vetor zero está em
.
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz as condições de
:
-
: → verdadeiro. -
: → verdadeiro.
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
Condição 2:
é fechado para adição de vetores.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Suponha que
e
estão em
. Isso significa que:
-
e -
e
Agora, somamos
. Vamos verificar se esse vetor também está em
:
Isso mostra que
satisfaz as mesmas condições que os vetores de
, ou seja,
e
. Portanto,
é fechado para adição.
Passo 5
Condição 3:
é fechado para multiplicação por escalares.
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
. Sabemos que:
Multiplicando
por
, obtemos
. Vamos verificar as condições:
Portanto,
também satisfaz
e
, ou seja, está em
. Assim,
é fechado para multiplicação por escalares.
Resposta
Sim, o subconjunto
é um subespaço de
.