Um conjunto de geradores pode ser LD? Se sim, como transformá-lo em LI?

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre geradores em espaços vetoriais. A pergunta é: Um conjunto de geradores pode ser linearmente dependente (LD)? E se puder, como transformar esse conjunto em linearmente independente (LI)? Para resolver isso, vamos precisar entender o que são geradores, dependência e independência linear.

Passo 2

Primeiro, geradores são um conjunto de vetores que, combinados entre si, conseguem “gerar” todo o espaço vetorial. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser formado usando uma combinação linear desses geradores.

Passo 3

Agora, sobre dependência linear (LD): um conjunto de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que há vetores “repetidos” ou “redundantes” no conjunto.

Passo 4

Então, respondendo à primeira parte: Sim, um conjunto de geradores pode ser LD. Isso acontece quando algum vetor do conjunto não é realmente necessário para gerar o espaço, porque ele já pode ser formado pelos outros vetores.

Passo 5

Para transformar um conjunto LD em LI, a gente precisa eliminar esses vetores redundantes. Basicamente, verificamos quais vetores são combinações lineares dos outros e os removemos até que nenhum vetor no conjunto possa ser escrito como uma combinação dos restantes. Esse processo garante que o novo conjunto seja linearmente independente (LI).

Resposta

Sim, um conjunto de geradores pode ser linearmente dependente. Para torná-lo linearmente independente, basta remover os vetores que são combinações lineares dos demais, resultando em um conjunto de geradores linearmente independente.

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