Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2.
b) Determine as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada uma das bases beta, beta1, beta2 e beta3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de coordenadas de vetores em diferentes bases do . A gente tem o vetor e quatro bases diferentes: , , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor em cada uma dessas bases. Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma base diferente da padrão e usar um pouco de álgebra linear para achar as combinações lineares que dão o vetor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma base de é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. A base padrão já é familiar, mas temos que fazer o mesmo processo para as outras bases.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vetor v = a cdot e1 + b cdot e2 em cada base, precisamos resolver um sistema de equações. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de e . Ou seja, queremos encontrar e tais que:
onde e são os vetores da base que estamos considerando. Vamos fazer isso para cada uma das bases fornecidas.

Passo 4

Na base padrão (3, -2) = a cdot (1,0) + b cdot (0,1) , fica fácil:
Isso nos dá diretamente e . Então, as coordenadas de na base são .

Passo 5

Agora, vamos para a base (3, -2) = a cdot (-1,1) + b cdot (1,1) . Queremos encontrar - a + b = 3 a + b = -2 e (-a + b) + (a + b) = 3 + (-2) Rightarrow 2b = 1 Rightarrow b = 12 tais que:
a + 12 = -2 Rightarrow a = -52
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Vamos para a base (3, -2) = a cdot (raiz3,1) + b cdot (raiz3,-1) . Queremos:
a raiz3 + b raiz3 = 3 a - b = -2
Isso dá o sistema:
(a + b) raiz3 = 3 Rightarrow a + b = 3raiz3 = raiz3
Simplificando a primeira equação:
a + b = raiz3 a - b = -2
Agora temos:
2a = raiz3 - 2 Rightarrow a = raiz3 - 22
Somando as duas equações:
2b = raiz3 + 2 Rightarrow b = raiz3 + 22
Subtraindo a segunda da primeira:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Finalmente, vamos para a base (3, -2) = a cdot (2,0) + b cdot (0,2) . Queremos:
2a = 3 2b = -2
Isso resulta no sistema:
a = 32, b = -1
Resolvendo:
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor beta &: (3, -2) beta1 &: (-52, 12) beta2 &: (raiz3 - 22, raiz3 + 22) beta3 &: (32, -1) nas bases são:

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