Sejam
,
e
bases ordenadas de
.
b) Determine as coordenadas do vetor
em relação a cada uma das bases
e
.
b) Determine as coordenadas do vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de coordenadas de vetores em diferentes bases do
. A gente tem o vetor
e quatro bases diferentes:
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor
em cada uma dessas bases. Para isso, vamos precisar entender como representar um vetor em uma base diferente da padrão e usar um pouco de álgebra linear para achar as combinações lineares que dão o vetor desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma base de
é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor no
pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. A base padrão
já é familiar, mas temos que fazer o mesmo processo para as outras bases.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas do vetor
em cada base, precisamos resolver um sistema de equações. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de
e
. Ou seja, queremos encontrar
e
tais que:
onde
e
são os vetores da base que estamos considerando. Vamos fazer isso para cada uma das bases fornecidas.
Passo 4
Na base padrão
, fica fácil:
Isso nos dá diretamente
e
. Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 5
Agora, vamos para a base
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 6
Vamos para a base
. Queremos:
Isso dá o sistema:
Simplificando a primeira equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 7
Finalmente, vamos para a base
. Queremos:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
As coordenadas do vetor
nas bases são: