Dadas as transformações lineares T: R^n R^m
(b) T(x, y, z)=(x+y, y+z).
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(iii) Quais dos seguintes vetores (1,-1,1),(0,0,0),(-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos descobrir quais dos vetores , e pertencem ao núcleo de . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor estar no núcleo de T(x, y, z) = (x + y, y + z) = (0, 0) . Um vetor x + y = 0 y + z = 0 está no núcleo de se . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 3

Agora, para cada vetor dado, vamos verificar se ele satisfaz esse sistema de equações.
Vetor 1 + (-1) = 0 -1 + 1 = 0 :
Substituindo , , :
Ambas as equações são verdadeiras, então está no núcleo de .

Passo 4

Vetor 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 :
Substituindo , , :
Novamente, ambas as equações são verdadeiras, então também está no núcleo de .

Passo 5

Vetor -3 + 3 = 0 3 + 3 = 6 neq 0 :
Substituindo , , :
A segunda equação não é satisfeita, então não está no núcleo de .

Resposta

Os vetores e pertencem ao núcleo da transformação , enquanto não pertence.

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