Seja F: V R^5 uma transformação linear.
(a) Se F é sobrejetora e dim Ker(F)=2, qual é a dim V ?

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear . Sabemos que é sobrejetora, ou seja, ela “cobre” todo o espaço , e que a dimensão do núcleo de é 2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante em álgebra linear chamado Teorema do Núcleo e Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão. Esse teorema nos diz que:
dim V = dim Ker(F) + dim Im(F)
Aqui, é a dimensão do espaço de partida, é a dimensão do núcleo de (o conjunto de todos os vetores que manda para o vetor zero), e é a dimensão da imagem de (todos os vetores que podem ser obtidos através de ).

Passo 3

Sabemos que dim Im(F) = 5 é sobrejetora, o que significa que a imagem de é todo o espaço . Portanto, a dimensão da imagem de é igual à dimensão de , que é 5.

Passo 4

Também sabemos que a dimensão do núcleo de dim Ker(F) = 2 é 2.

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
dim V = dim Ker(F) + dim Im(F) = 2 + 5 = 7

Resposta

A dimensão de é 7.

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