Seja
uma transformação linear.
(a) Se
é sobrejetora e
, qual é a
?
(a) Se
Passo 1
Então, a gente tem uma transformação linear
. Sabemos que
é sobrejetora, ou seja, ela “cobre” todo o espaço
, e que a dimensão do núcleo de
é 2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante em álgebra linear chamado Teorema do Núcleo e Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão. Esse teorema nos diz que:
Aqui,
é a dimensão do espaço de partida,
é a dimensão do núcleo de
(o conjunto de todos os vetores que
manda para o vetor zero), e
é a dimensão da imagem de
(todos os vetores que podem ser obtidos através de
).
Passo 3
Sabemos que
é sobrejetora, o que significa que a imagem de
é todo o espaço
. Portanto, a dimensão da imagem de
é igual à dimensão de
, que é 5.
Passo 4
Também sabemos que a dimensão do núcleo de
é 2.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
Resposta
A dimensão de
é 7.