3
Dados os pontos e e os vetores e , obter o vetor tal que:
3a
Dados os pontos e e os vetores e , obter o vetor tal que:
3b
Dados os pontos A(4,0,-1), B(2,-2,1) e C(1,3,2) e os vetores u=(2,1,1) e v=(-1,-2,3), obter o vetor x tal que: (BC cdot v) x=(u cdot v) v-3 x
4
Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u=(2,-1,3), tal que v cdot u=-42.
5
Determinar o vetor v do espaço, sabendo que |v|=5, v é ortogonal ao eixo Ox , v cdot w=6 e w=i+2 j.
6
Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo O y, v cdot v1=8 e v cdot v2=-3, sendo v1=(3,1,-2)e v2=(-1,1,1)
7
Dados os vetores u=(1,2,-3), v=(2,0,-1) e w=(3,1,0), determinar o vetor x tal que x cdot u=-16, x cdot v=0 e x cdot w=3.
8
Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular:
8a
Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular: (u-3 v) cdot u
8b
Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular: (2 v-u) cdot(2 v)
8c
Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular: (u+v) cdot(v-4 u)
8d
Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular: (3 u+4 v) cdot(-2 u-5 v)
9
Calcular u cdot v+u cdot w+v cdot w, sabendo que u+v+w=0,|u|=2,|v|=3 e |w|=5.
10
Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm . Calcular AB cdot AC e AB cdot CA.
11
O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2 .
Calcular:
11a
O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2 . Calcular: AC cdot BD
11b
O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2 . Calcular: AB cdot AD
11c
O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2 . Calcular: BA cdot BC
11d
O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2 . Calcular: AB cdot BC
11e
O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2 . Calcular: AB cdot DC
11f
O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2 . Calcular: BC cdot DA
12
Calcular |u+v|,|u-v| e (u+v) cdot(u-v), sabendo que |u|=4,|v|=3 e o ângulo entre u e v é de 60^circ.
13
Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 rad, determinar:
13a
Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 rad, determinar: |(2 u-v) cdot(u-2 v)|
13b
Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 rad, determinar: |u-2 v|
14
Verificar para os vetores u=(4,-1,2) e v=(-3,2,-2) as desigualdades
14a
Verificar para os vetores u=(4,-1,2) e v=(-3,2,-2) as desigualdades: |u cdot v| <=|u| v mid (Desigualdade de Schwarz)
14b
Verificar para os vetores u=(4,-1,2) e v=(-3,2,-2) as desigualdades: |u+v| <=|u|+|v| (Desigualdade Triangular)
15
Qual deve ser o valor de alpha para que os vetores a=alpha i+2 j-4 k b b=2 i+(1-2 alpha) j+3 k sejam ortogonais?
16
Dados os vetores a=(2,1, alpha), b=(alpha+2,-5,2) e c=(2 alpha, 8, alpha), determinar o valor de alpha para que o vetor a+b seja ortogonal ao vetor c-a.
17
Dados os pontos A(-1,0,5), B(2,-1,4) e C(1,1,1), determinar x tal que AC e BP sejam ortogonais, sendo P(x, 0, x-3).
18
Provar que os pontos A(-1,2,3), B(-3,6,0) e C(-4,7,2) são vértices de um triângulo retângulo.
19
Dados os pontos A(m, 1,0), B(m-1,2 m, 2) e C(1,3,-1), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A . Calcular a área do triângulo.
20
Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor v=(4,1-2).
21
Determinar o vetor u tal que |u|=2, sendo o ângulo entre u e v=(1,-1,0) igual a 45^circ e u seja ortogonal a w=(1,1,0).
22
Seja o vetor v=(2,-1,1). Obter:
22a
Seja o vetor v=(2,-1,1). Obter: um vetor ortogonal a v;
22b
Seja o vetor v=(2,-1,1). Obter: um vetor unitário ortogonal a v;
22c
Seja o vetor v=(2,-1,1). Obter: um vetor de módulo 4 ortogonal a v.
23
Sendo a perp b,|a|=6 e |b|=8, calcular |a+b| e|a-b|.
24
Demonstrar que, sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então:
24a
Demonstrar que, sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então: |u+v|^2=|u|^2+|v|^2
24b
Demonstrar que, sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então: |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2
25
Determinar o ângulo entre os vetores:
25a
Determinar o ângulo entre os vetores: u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2)
25b
Determinar o ângulo entre os vetores: u=(1,-2,1) e v=(-1,1,0)
26
Seja o triângulo de vértices A(3,4,4), B(2,-3,4) e C(6,0,4). Determinar o ângulo interno ao vértice B . Qual o ângulo externo ao vértice B ?
27
Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A(2,1,3), B(1,0,-1) e C(-1,2,1).
28
Calcular o valor de m de modo que o ângulo entre os vetores u=(1,-2,1) e v=(-2,1, m+1) seja 120^circ.
29
Calcular n para que o ângulo entre os vetores v=(-3,1, n) e k seja de 30^circ.
30
Se |u|=4,|v|=2 e 120^circ o ângulo entre os vetores u e v, determinar o ângulo entre u+v e u-v e construir uma figura correspondente a esses dados.
31
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar:
31a
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: OA cdot OC
31b
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: OA cdot OD
31c
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: OE cdot OB
31d
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: |OB| e |OG|
31e
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: EG cdot CG
31f
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: (ED cdot AB) OG
31g
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta;
31h
Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: o ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo.
32
Calcular os ângulos diretores do vetor v=(6,-2,3).
33
Os ângulos diretores de um vetor a são 45^circ, 60^circ e 120^circ e |a|=2. Determinar a.
34
Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45^circ, 60^circ e 90^circ ? Justificar.
35
Mostrar que existe vetor cujos ângulos diretores são 30^circ, 90^circ e 60^circ, respectivamente, e determinar aquele que tem módulo 10.
36
Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60^circ com o vetor i.
37
Determinar o vetor a de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor v=i-2 k, e forma ângulo obtuso com o vetor i.
38
Determinar o vetor v nos seguintes casos:
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
1a) -2
1b) 21
1c) -4
1d) 4
2. a=58
3. a) (3,6,-9) b) (-13,-23, 1)
4. v=(-6,3,-9)
5. v=(0,3,4) ou v=(0,3,-4)
6. v=(2,0,-1)
7. x=(2,-3,4)
8. a) 7
b) 38
c) -4
d) -181
9. -19
10. 200 e-200
11. a) 0
b) 2
c) -2
d) 2
e) 4
f) -4
12. raiz37, raiz13 e 7
13. a) 37
b) raiz50
14. alpha=-5
15. alpha=3 ou alpha=-6
16. x=252
17. BA cdot BC=0
18. m=1 e raiz 302
19. (0, 2raiz5, 1raiz5) ou (0,-2raiz5,-1raiz5)
20. u=(1,-1, raiz2) ou u=(1,-1,-raiz2)
21. a) Entre os infinitos possíveis: (1, 1, -1)
b) Um deles: (1raiz3, 1raiz3,-1raiz3)
c) Um deles: (4raiz3, 4raiz3,-4raiz3)
22. 10 e 10
23. a) 120^circ
b) 150^circ
24. 45^circ e 135^circ
25. A cong 50^circ 57^prime, B cong 57^circ 1^prime e C cong 72^circ 2^prime
26. m=0 ou m=-18
27. n=raiz30
28. arccos 3raiz21 cong 49^circ 6^prime
29. a) 0
c) 0
e) a^2
g) arccos raiz33 cong 54^circ 44^prime
b) 0
d) a raiz2 e a raiz3
f) (a^3, a^3, a^3)
h) arccos (13) cong 70^circ 31^prime
30. alpha=arccos (67) cong 31^circ, beta=arccos (-27) cong 107^circ e gamma=arccos (37) cong 65^circ
31. a=(raiz2, 1,-1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 1a! O enunciado nos dá dois vetores:
u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4)
Precisamos calcular a cdot b = ax bx + ay by + az bz . Aqui, estamos lidando com o produto escalar entre dois vetores. Vamos precisar usar a fórmula do produto escalar, que é:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular 2 u = 2 times (2, -3, -1) = (4, -6, -2) :
Passo 3
Em seguida, calculamos -v = -1 times (1, -1, 4) = (-1, 1, -4) :
Passo 4
Agora, vamos fazer o produto escalar entre (4, -6, -2) cdot (-1, 1, -4) = (4 times -1) + (-6 times 1) + (-2 times -4) e = -4 - 6 + 8 :