Um conjunto Linearmente Independente (L.I.) pode conter um subconjunto Linearmente Dependente (L.D.)?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente com Conjuntos Linearmente Independentes (L.I.) e Conjuntos Linearmente Dependentes (L.D.). Queremos saber se é possível que um conjunto que é linearmente independente contenha dentro dele um subconjunto que seja linearmente dependente.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa cada termo:
  • Conjunto Linearmente Independente (L.I.): Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, não há uma relação de dependência entre os vetores.
  • Conjunto Linearmente Dependente (L.D.): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe pelo menos uma combinação linear não trivial (coeficientes não todos zero) que resulta no vetor nulo. Ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Se temos um conjunto que é linearmente independente, isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Agora, considere qualquer subconjunto desse conjunto.
Se assumirmos que dentro desse subconjunto há uma relação de dependência, isso implicaria que, mesmo dentro do conjunto original, há uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo, o que contraria a independência linear do conjunto original.

Passo 4

Portanto, um conjunto linearmente independente não pode conter um subconjunto linearmente dependente.

Resposta

Não, um conjunto Linearmente Independente não pode conter um subconjunto Linearmente Dependente.

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A parábola é um subespaço vetorial de ? Caso afirmativo, calcule sua dimensão apresentando uma base explícita.
Discuta em função de os seguintes sistemas lineares:
a)
b)
c)
Efetuar
Sejam e subespaços gerados do . Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .