A parábola U=(x, y) in R^2: y=x^2 é um subespaço vetorial de R^2 ? Caso afirmativo, calcule sua dimensão apresentando uma base explícita.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se a parábola é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos analisar cada uma dessas condições para a parábola .

Passo 2

Verificando a presença do vetor zero:
O vetor zero em y = x^2 com x = 0 implies y = 0^2 = 0 é . Vamos ver se ele pertence a :
Então, está em . A primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Verificando fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, x1^2 + x2^2) , digamos x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 e (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 , onde x1^2 + x2^2 neq x1^2 + 2x1x2 + x2^2 a menos que x1x2 = 0 e .
A soma desses vetores é:
Para que seja fechado sob adição, deve ser satisfeito para a soma, ou seja:
Expandindo o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Isso significa que, em geral, a soma de dois vetores em não está em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Conclusão:
Como a parábola não satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial (especificamente, não é fechada sob adição), podemos concluir que não é um subespaço vetorial de .

Resposta

A parábola não é um subespaço vetorial de .

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