A parábola
é um subespaço vetorial de
? Caso afirmativo, calcule sua dimensão apresentando uma base explícita.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se a parábola
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos analisar cada uma dessas condições para a parábola
.
Passo 2
Verificando a presença do vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Então,
está em
. A primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Verificando fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde
e
.
A soma desses vetores é:
Para que
seja fechado sob adição,
deve ser satisfeito para a soma, ou seja:
Expandindo o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Isso significa que, em geral, a soma de dois vetores em
não está em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Conclusão:
Como a parábola
não satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial (especificamente, não é fechada sob adição), podemos concluir que
não é um subespaço vetorial de
.
Resposta
A parábola
não é um subespaço vetorial de
.