A parábola é um subespaço vetorial de ? Caso afirmativo, calcule sua dimensão apresentando uma base explícita.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se a parábola é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição de vetores.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos analisar cada uma dessas condições para a parábola .
Passo 2
Verificando a presença do vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Então, está em . A primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Verificando fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e , onde e .
A soma desses vetores é:
Para que seja fechado sob adição, deve ser satisfeito para a soma, ou seja:
Expandindo o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Isso significa que, em geral, a soma de dois vetores em não está em . Portanto, não é fechado sob adição.
Passo 4
Conclusão:
Como a parábola não satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial (especificamente, não é fechada sob adição), podemos concluir que não é um subespaço vetorial de .