Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares:
a) l-4 x+3 y=2 5 x-4 y=0 2 x-y=k
b) S:l-x-2 y-k z=1 k x-y+z=2 x+y+z=0
c) l2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+0 y+k z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com três equações e duas incógnitas ( x e y), mais um parâmetro k. Nosso objetivo é entender como o valor de k influencia nas soluções desse sistema. Para resolver isso, vamos usar métodos de sistemas lineares, como eliminação e substituição, e analisar a consistência das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar os valores de x e y. As equações são:
-4x + 3y = 2 (1) 5x - 4y = 0 (2)
Vamos usar o método de eliminação para eliminar uma das variáveis. Vou escolher eliminar y.

Passo 3

Multiplicamos a equação (1) por 4 e a equação (2) por 3 para igualar os coeficientes de y:
(-4x + 3y) times 4 Rightarrow -16x + 12y = 8 (1') (5x - 4y) times 3 Rightarrow 15x - 12y = 0 (2')
Agora, somamos as equações (1’) e (2’):
(-16x + 12y) + (15x - 12y) = 8 + 0 -16x + 15x + 12y - 12y = 8 - x = 8 Rightarrow x = -8

Passo 4

Com o valor de x = -8, vamos substituir em uma das equações originais para encontrar y. Vou usar a equação (2):
5x - 4y = 0 5(-8) - 4y = 0 -40 - 4y = 0 -4y = 40 y = -10

Passo 5

Agora que já temos x = -8 e y = -10, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação do sistema:
2x - y = k 2(-8) - (-10) = k -16 + 10 = k -6 = k

Passo 6

Então, para que o sistema seja consistente, ou seja, tenha solução, o valor de k deve ser igual a -6. Se k for diferente de -6, a terceira equação não será compatível com as primeiras duas, resultando em um sistema inconsistente (sem solução).

Resposta

O sistema possui solução única quando k = -6. Para qualquer outro valor de k, o sistema não tem solução.

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