No conjunto parcialmente ordenado , encontre todas as cotas superiores de ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o conjunto dos números naturais com uma ordem baseada em divisibilidade, representada por . A gente precisa encontrar todas as cotas superiores do conjunto . Isso significa que queremos achar todos os números naturais que são divisíveis por 6 e por 15 ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cota superior nesse contexto. Em um conjunto parcialmente ordenado por divisibilidade, uma cota superior para é um número que é múltiplo de ambos e . Ou seja, esse número deve ser divisível por e também por .

Passo 3

Para encontrar as cotas superiores de , precisamos achar os múltiplos comuns de 6 e 15. A forma mais eficiente de fazer isso é encontrando o mínimo múltiplo comum (MMC) de 6 e 15. O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos os números.

Passo 4

Vamos calcular o MMC de 6 e 15:
  • Os múltiplos de 6 são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
  • Os múltiplos de 15 são: 15, 30, 45, 60, 75, …
    Observando, o menor número que aparece nas duas listas é 30. Portanto, o MMC de 6 e 15 é 30.

Passo 5

Agora que sabemos que 30 é o MMC de 6 e 15, qualquer múltiplo de 30 também será uma cota superior, porque será divisível por 6 e por 15. Então, os números como 30, 60, 90, 120, etc., são todos cotas superiores de .

Resposta

Todas as cotas superiores de são os múltiplos de 30. Ou seja, são números da forma , onde é um número natural ( ).

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