Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a primeira e a segunda derivada da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é super útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, temos
dentro de uma potência, então vamos precisar dela para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. A função é
.
Usamos a Regra da Cadeia aqui. Se temos
, então a derivada é:
No nosso caso,
e
.
Então,
Vamos simplificar:
Multiplicando os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Já temos a primeira derivada:
Vamos derivar isso novamente. Aqui, teremos que usar a Regra do Produto porque temos um produto de duas funções:
e
.
A Regra do Produto diz que:
Vamos identificar
e
.
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
usando a Regra da Cadeia novamente:
Se
, então:
Aqui,
e
.
Então,
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Podemos fatorar
para simplificar ainda mais:
Resposta
As derivadas da função
são:
e