Encontre a primeira e a segunda derivadas da função y = (1 - x^2)^(3/4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é super útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, temos dentro de uma potência, então vamos precisar dela para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . A função é .
Usamos a Regra da Cadeia aqui. Se temos , então a derivada é:
No nosso caso, e .
Então,
Vamos simplificar:
Multiplicando os coeficientes:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Já temos a primeira derivada:
Vamos derivar isso novamente. Aqui, teremos que usar a Regra do Produto porque temos um produto de duas funções: e .
A Regra do Produto diz que:
Vamos identificar e .
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos usando a Regra da Cadeia novamente:
Se , então:
Aqui, e .
Então,
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Resposta

As derivadas da função são:
e

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