Encontre a primeira e a segunda derivadas de
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é a função
. Nosso objetivo é encontrar a primeira e a segunda derivadas dessa função. Isso cai no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na parte de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente para derivar funções que são divididas, e depois derivar novamente para encontrar a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Como temos uma função que é o quociente de duas funções, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, se você tem uma função
, então a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
e
. Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a primeira derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada da primeira derivada
. Temos:
Para derivar essa expressão, vamos novamente usar a regra do quociente. Vamos definir
e
. Primeiro, derivamos
e
:
Aplicando a regra do quociente para
:
Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expanda
:
Agora, calcule
:
Expandindo:
Agora, subtraimos as duas partes:
Expandindo
:
Subtraindo:
Portanto, a segunda derivada fica:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
.