Encontre a primeira e a segunda derivadas de y = x^2 / (x + 1).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é encontrar a primeira e a segunda derivadas dessa função. Isso cai no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na parte de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente para derivar funções que são divididas, e depois derivar novamente para encontrar a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Como temos uma função que é o quociente de duas funções, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, se você tem uma função , então a derivada de em relação a é:
Aqui, e . Agora, vamos derivar e em relação a :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a primeira derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada da primeira derivada . Temos:
Para derivar essa expressão, vamos novamente usar a regra do quociente. Vamos definir e . Primeiro, derivamos e :
Aplicando a regra do quociente para :
Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expanda :
Agora, calcule :
Expandindo:
Agora, subtraimos as duas partes:
Expandindo :
Subtraindo:
Portanto, a segunda derivada fica:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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