Considere a função
Determine o maior intervalo em que a função é inversível. Determine o domínio da inversa para esse intervalo. Obtenha a expressão da inversa.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre a função
e pede para a gente encontrar o maior intervalo onde essa função é inversível, determinar o domínio dessa inversa e, por fim, achar a expressão da função inversa. Vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como encontrar essa inversa passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é inversível se ela for injetora (ou seja, cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada). Para garantir isso, uma função deve ser monótona (ou sempre crescente ou sempre decrescente) no intervalo considerado. Vamos verificar a monotonicidade da nossa função
.
Passo 3
Para determinar se a função é crescente ou decrescente, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em todo o intervalo, a função é crescente; se for negativa, é decrescente.
Calculando
:
Passo 4
Observamos que o denominador
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. O numerador é -3, que é negativo. Portanto,
é sempre negativo para todos os
em
exceto
. Isso significa que a função
é sempre decrescente em seu domínio.
Passo 5
Como a função é decrescente em todo o seu domínio, qualquer intervalo que considerarmos será um intervalo onde a função é injetora, ou seja, inversível. Para encontrar o maior intervalo onde a função é inversível, devemos considerar todo o domínio da função, que é
menos o ponto onde a função não existe, que é
.
Passo 6
Agora que sabemos que a função é inversível em todo o seu domínio
, vamos determinar o domínio da função inversa. O domínio da inversa será o conjunto de valores que a função original pode assumir. Vamos encontrar o alcance de
.
Resolvendo para
:
A função inversa existirá para todos os
onde
, ou seja,
. Portanto, o domínio da inversa é
.
Passo 7
Finalmente, vamos obter a expressão da função inversa. Da equação que obtivemos acima:
Substituindo
por
para expressar a inversa em termos de
:
Resposta
O maior intervalo em que a função é inversível é
. O domínio da função inversa é
. A expressão da função inversa é:
Exercícios relacionados
O conjunto de pares
está contido no gráfico de uma função contínua e inversível
. Qual(is) afirmação(ções) é(são) verdadeira(s)?
-
é um ponto no gráfico da inversa de . - Existe pelo menos um ponto em comum nos gráficos de
e . -
está na imagem de . -
é um ponto no domínio de .
Ache o limite das sequências abaixo e justifique.
Encontre os valores de
e
para as seguintes sequências:
;