Considere a função
Determine o maior intervalo em que a função é inversível. Determine o domínio da inversa para esse intervalo. Obtenha a expressão da inversa.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre a função e pede para a gente encontrar o maior intervalo onde essa função é inversível, determinar o domínio dessa inversa e, por fim, achar a expressão da função inversa. Vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como encontrar essa inversa passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é inversível se ela for injetora (ou seja, cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada). Para garantir isso, uma função deve ser monótona (ou sempre crescente ou sempre decrescente) no intervalo considerado. Vamos verificar a monotonicidade da nossa função .

Passo 3

Para determinar se a função é crescente ou decrescente, vamos calcular a derivada de . A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em todo o intervalo, a função é crescente; se for negativa, é decrescente.
Calculando :

Passo 4

Observamos que o denominador é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. O numerador é -3, que é negativo. Portanto, é sempre negativo para todos os em exceto . Isso significa que a função é sempre decrescente em seu domínio.

Passo 5

Como a função é decrescente em todo o seu domínio, qualquer intervalo que considerarmos será um intervalo onde a função é injetora, ou seja, inversível. Para encontrar o maior intervalo onde a função é inversível, devemos considerar todo o domínio da função, que é menos o ponto onde a função não existe, que é .

Passo 6

Agora que sabemos que a função é inversível em todo o seu domínio , vamos determinar o domínio da função inversa. O domínio da inversa será o conjunto de valores que a função original pode assumir. Vamos encontrar o alcance de .
Resolvendo para :
A função inversa existirá para todos os onde , ou seja, . Portanto, o domínio da inversa é .

Passo 7

Finalmente, vamos obter a expressão da função inversa. Da equação que obtivemos acima:
Substituindo por para expressar a inversa em termos de :

Resposta

O maior intervalo em que a função é inversível é . O domínio da função inversa é . A expressão da função inversa é:

Exercícios relacionados

O conjunto de pares está contido no gráfico de uma função contínua e inversível . Qual(is) afirmação(ções) é(são) verdadeira(s)?
  1. é um ponto no gráfico da inversa de .
  2. Existe pelo menos um ponto em comum nos gráficos de e .
  3. está na imagem de .
  4. é um ponto no domínio de .
Ache o limite das sequências abaixo e justifique.
Encontre os valores de e para as seguintes sequências: