Se
e
, com
e
, então
Dê exemplos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois números complexos,
e
, onde o
é negativo (
) e o
não é zero (
). A questão quer que a gente mostre que, quando
vai para o infinito positivo, o par
vai chegar em
. E pra isso, precisamos usar conceitos de autovalores e soluções de sistemas lineares com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem autovalores complexos como esses, as soluções do sistema diferencial associado geralmente têm a forma de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. Especificamente, para cada autovalor
, a solução geral pode ser escrita como:
Aqui,
é a parte exponencial que controla o crescimento ou decrescimento da solução, e as funções trigonométricas representam as oscilações causadas pela parte imaginária
.
Passo 3
Agora, como o
é negativo (
), a parte
vai decair para zero quando
tende para o infinito. Isso significa que, independentemente das oscilações das funções trigonométricas, o todo vai se aproximar de zero. Ou seja:
Passo 4
Agora vamos dar alguns exemplos concretos. Vamos escolher valores para
e
que satisfaçam
e
.
Exemplo 1:
Seja e
. As soluções do sistema seriam:
Seja
Quando
tende para o infinito, ambos
e
vão para zero.
Exemplo 2:
Seja e
. As soluções do sistema seriam:
Seja
Novamente, quando
vai para o infinito,
e
se aproximam de zero.
Exemplo 3:
Seja e
. As soluções do sistema seriam:
Seja
Novamente, com
indo para o infinito, tanto
quanto
vão para zero.
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer par de autovalores
e
com
e
, o limite de
quando
vai para o infinito é de fato
. Os exemplos concretos ilustram como isso acontece na prática.