Se lambda1=alpha+i beta e lambda2=alpha-i beta, com alpha<0 e beta neq 0, então
lim t +infty(x(t), y(t))=(0,0)
Dê exemplos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois números complexos, lambda1 = alpha + ibeta e lambda2 = alpha - ibeta, onde o alpha é negativo ( alpha < 0) e o beta não é zero ( beta neq 0). A questão quer que a gente mostre que, quando t vai para o infinito positivo, o par (x(t), y(t)) vai chegar em (0,0). E pra isso, precisamos usar conceitos de autovalores e soluções de sistemas lineares com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem autovalores complexos como esses, as soluções do sistema diferencial associado geralmente têm a forma de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. Especificamente, para cada autovalor lambda = alpha + ibeta, a solução geral pode ser escrita como:
e^alpha t cos(beta t) sin(beta t)
Aqui, e^alpha t é a parte exponencial que controla o crescimento ou decrescimento da solução, e as funções trigonométricas representam as oscilações causadas pela parte imaginária ibeta.

Passo 3

Agora, como o alpha é negativo ( alpha < 0), a parte e^alpha t vai decair para zero quando t tende para o infinito. Isso significa que, independentemente das oscilações das funções trigonométricas, o todo vai se aproximar de zero. Ou seja:
lim t +infty e^alpha t cos(beta t) sin(beta t) = 0 0

Passo 4

Agora vamos dar alguns exemplos concretos. Vamos escolher valores para alpha e beta que satisfaçam alpha < 0 e beta neq 0.
Exemplo 1:
Seja alpha = -2 e beta = 3. As soluções do sistema seriam:
x(t) = e^-2t cos(3t) y(t) = e^-2t sin(3t)
Quando t tende para o infinito, ambos x(t) e y(t) vão para zero.
Exemplo 2:
Seja alpha = -1 e beta = pi. As soluções do sistema seriam:
x(t) = e^-t cos(pi t) y(t) = e^-t sin(pi t)
Novamente, quando t vai para o infinito, x(t) e y(t) se aproximam de zero.
Exemplo 3:
Seja alpha = -0.5 e beta = raiz2. As soluções do sistema seriam:
x(t) = e^-0.5t cos(raiz2 t) y(t) = e^-0.5t sin(raiz2 t)
Novamente, com t indo para o infinito, tanto x(t) quanto y(t) vão para zero.

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer par de autovalores lambda1 = alpha + ibeta e lambda2 = alpha - ibeta com alpha < 0 e beta neq 0, o limite de (x(t), y(t)) quando t vai para o infinito é de fato (0,0). Os exemplos concretos ilustram como isso acontece na prática.

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