a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=1, x=3, pelo eixo 0 x e pelo gráfico de y = x^3.
b) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=1, x=4, y=0 e pelo gráfico de y = raiz(x).
c) A é o conjunto de todos (x, y) tais que x^2 - 1 <= y <= 0.
d) A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 <= y <= 4 - x^2.
e) A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 <= y <= |sen x|, com 0 <= x <= 2 pi.
f) A é a região do plano compreendida entre o eixo 0 x e o gráfico de y = x^2 - x, com 0 <= x <= 2.
g) A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3 - 2 x - x^2, com -1 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Na parte a), temos que o conjunto A é a região do plano limitada por quatro elementos:
  • As retas verticais x = 1 e x = 3.
  • O eixo x (que é a reta onde y = 0).
  • O gráfico da função y = x³.
Vamos utilizar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a integração definida, para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. Temos duas retas verticais (x = 1 e x = 3) que vão limitar a região na horizontal. Na parte inferior, temos o eixo x (y = 0) e, na parte superior, o gráfico de y = x³.
Para encontrar a área dessa região, precisamos calcular a integral da função que delimita de cima (no caso, y = x³) menos a função que delimita de baixo (no caso, y = 0) no intervalo de x = 1 a x = 3.

Passo 3

A fórmula para a área A entre duas curvas y = f(x) e y = g(x), de x = a a x = b, é:
No nosso caso:
  • f(x) = x³
  • g(x) = 0
  • a = 1
  • b = 3
Então, a integral fica:
³³

Passo 4

Vamos calcular a integral definida de de 1 a 3.
A antiderivada de é:
³
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante C.

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
Calculando:
Subtraindo:

Resposta

A área da região A é 20 unidades de área.

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