O conjunto
pode gerar o
-espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se o conjunto
consegue gerar todo o espaço vetorial
. Para isso, vamos utilizar conceitos de espacidade vetorial, combinatória linear e dependência linear. Precisaremos verificar se, com esses dois vetores, é possível combinar linearmente para obter qualquer vetor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar o espaço vetorial
. Um conjunto de vetores gera
se, através de combinações lineares desses vetores, conseguimos alcançar qualquer vetor nesse espaço. Uma combinação linear envolve multiplicar cada vetor por um escalar e somar os resultados.
Passo 3
Para gerar
, geralmente precisamos de três vetores que sejam linearmente independentes. Linearmente independentes significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Com apenas dois vetores, como temos aqui, há uma limitação.
Passo 4
Vamos verificar se os vetores dados são linearmente independentes. Considerando os vetores
e
, queremos saber se existe algum escalar
tal que
. Isso implicaria que:
Da segunda equação,
, o que é impossível. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Embora os vetores sejam linearmente independentes, temos apenas dois vetores no conjunto. Para gerar
, precisamos três vetores linearmente independentes. Com dois vetores, conseguimos apenas gerar um plano dentro de
, não o espaço todo.
Resposta
Não, o conjunto
não pode gerar o espaço vetorial
, pois são necessários pelo menos três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço.
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