A equação da cônica a seguir está em coordenadas polares. Colocá-la em coordenadas cartesianas e classificá-la
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício sobre cônicas em coordenadas polares. A missão é transformar essa equação em coordenadas cartesianas e descobrir que tipo de cônica é essa. Para fazer isso, vamos precisar saber como converter coordenadas polares para cartesianas e um pouco sobre como classificar as cônicas usando as equações resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
Essas relações vão nos ajudar a substituir os termos na equação original.
Passo 3
Vamos começar substituindo
por
e
por
na equação original:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada termo:
-
-
-
-
-
- O último termo fica
Substituindo na equação, temos:
Passo 5
Agora, vamos organizar a equação em forma padrão:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes
da equação geral da cônica:
Passo 6
Para classificar a cônica, precisamos calcular o discriminante, que é dado por:
Aqui,
,
, e
. Então:
Passo 7
Com o discriminante
, isso indica que a cônica é uma parábola. No entanto, como há um termo
, a cônica pode estar rotacionada. Para simplificar, podemos completar o quadrado ou usar uma rotação de coordenadas, mas para este exercício, basta saber que é uma parábola.
Resposta
A equação em coordenadas cartesianas é
e a cônica representada é uma parábola.
Exercícios relacionados
Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
Verifique se
são LI ou LD.
O conjunto
pode gerar o
-espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
Dada a matriz
, encontre uma matriz
tal que
seja uma matriz diagonal.