A equação da cônica a seguir está em coordenadas polares. Colocá-la em coordenadas cartesianas e classificá-la
9 r^2(cos theta)^2+r^2(sen theta)^2+6 r cos theta r sen theta-10 r cos theta+10 r sen theta+45=0

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício sobre cônicas em coordenadas polares. A missão é transformar essa equação em coordenadas cartesianas e descobrir que tipo de cônica é essa. Para fazer isso, vamos precisar saber como converter coordenadas polares para cartesianas e um pouco sobre como classificar as cônicas usando as equações resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
x = r cos theta y = r sin theta
Essas relações vão nos ajudar a substituir os termos na equação original.

Passo 3

Vamos começar substituindo 9 r^2 (xr)^2 + r^2 (yr)^2 + 6 r (xr) r (yr) - 10 r (xr) + 10 r (yr) + 45 = 0 por e por na equação original:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo:
  • 9x^2 + y^2 + 6xy - 10x + 10y + 45 = 0
  • O último termo fica
Substituindo na equação, temos:

Passo 5

Agora, vamos organizar a equação em forma padrão:
9x^2 + 6xy + y^2 - 10x + 10y + 45 = 0
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 da equação geral da cônica:

Passo 6

Para classificar a cônica, precisamos calcular o discriminante, que é dado por:
De
Aqui, De, , e . Então:

Passo 7

Com o discriminante , isso indica que a cônica é uma parábola. No entanto, como há um termo , a cônica pode estar rotacionada. Para simplificar, podemos completar o quadrado ou usar uma rotação de coordenadas, mas para este exercício, basta saber que é uma parábola.

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é e a cônica representada é uma parábola.

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