Dada a matriz A=(rr4 & -2 1 & 1), encontre uma matriz P tal que P^-1 A P seja uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz tal que seja uma matriz diagonal. Isso faz parte do estudo de diagonalização de matrizes, que é uma maneira de simplificar matrizes complicadas usando seus autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores e os autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A = 4 & -2 1 & 1 . Os autovalores são valores especiais que fazem com que a equação det(A - lambda I) = det 4 - lambda & -2 1 & 1 - lambda = 0 seja verdadeira, onde (4 - lambda)(1 - lambda) - (-2)(1) = 0 (4 - lambda)(1 - lambda) + 2 = 0 4(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) + 2 = 0 4 - 4lambda - lambda + lambda^2 + 2 = 0 lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 representa os autovalores e lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 (lambda - 2)(lambda - 3) = 0 lambda = 2 ou lambda = 3 é a matriz identidade.
A matriz é:
Vamos montar a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 3

Agora que temos os autovalores A - 2I = 4 - 2 & -2 1 & 1 - 2 = 2 & -2 1 & -1 e 2x - 2y = 0 Rightarrow x = y x - y = 0 Rightarrow x = y , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos 1 1 , onde A - 3I = 4 - 3 & -2 1 & 1 - 3 = 1 & -2 1 & -2 é o autovetor.
Para x - 2y = 0 Rightarrow x = 2y x - 2y = 0 Rightarrow x = 2y :
2 1
Resolvendo :
Portanto, um autovetor para é .
Para :
Resolvendo :
Portanto, um autovetor para é .

Passo 4

Agora que temos os autovetores 1 1 e 2 1 , vamos construir a matriz P = 1 & 2 1 & 1 usando esses autovetores como colunas:
Essa matriz será a que queremos para diagonalizar .

Passo 5

Para confirmar que P = 1 & 2 1 & 1 está correta, vamos calcular det(P) = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1 e verificar se realmente obtemos uma matriz diagonal.
Primeiro, encontramos a inversa de P^-1 = 1det(P) 1 & -2 -1 & 1 = -1 1 & -2 -1 & 1 = -1 & 2 1 & -1 , P^-1 A P = -1 & 2 1 & -1 4 & -2 1 & 1 1 & 2 1 & 1 :
O determinante de é:
A inversa de é:
Agora, calculamos :
Após realizar as multiplicações matriciais, você obterá uma matriz diagonal com os autovalores e na diagonal principal.

Resposta

A matriz P = 1 & 2 1 & 1 que diagonaliza é:

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