Dada a matriz
, encontre uma matriz
tal que
seja uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz
tal que
seja uma matriz diagonal. Isso faz parte do estudo de diagonalização de matrizes, que é uma maneira de simplificar matrizes complicadas usando seus autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores e os autovetores da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores especiais que fazem com que a equação
seja verdadeira, onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
A matriz
é:
Vamos montar a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 3
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo
:
Portanto, um autovetor para
é
.
Para
:
Resolvendo
:
Portanto, um autovetor para
é
.
Passo 4
Agora que temos os autovetores
e
, vamos construir a matriz
usando esses autovetores como colunas:
Essa matriz
será a que queremos para diagonalizar
.
Passo 5
Para confirmar que
está correta, vamos calcular
e verificar se realmente obtemos uma matriz diagonal.
Primeiro, encontramos a inversa de
,
:
O determinante de
é:
A inversa de
é:
Agora, calculamos
:
Após realizar as multiplicações matriciais, você obterá uma matriz diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.
Resposta
A matriz
que diagonaliza
é: