Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. 2 x^2+y^2-4 z^2+2 y+5=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa identificar que tipo de superfície ela representa. Para isso, vamos usar o conteúdo de superfícies quadráticas, que são formas geométricas definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para facilitar a identificação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
2x^2 + y^2 - 4z^2 + 2y + 5 = 0
Vamos reorganizar:
2x^2 + y^2 + 2y - 4z^2 + 5 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo que envolve y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 . Para isso, pegamos os termos 2x^2 + (y + 1)^2 - 1 - 4z^2 + 5 = 0 :
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Simplificando os termos constantes:
2x^2 + (y + 1)^2 - 4z^2 + 4 = 0
Subtraindo 4 de ambos os lados:
2x^2 + (y + 1)^2 - 4z^2 = -4

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a equação por -2x^24 - (y + 1)^24 + 4z^24 = 1 para facilitar a identificação:
-x^22 - (y + 1)^24 + z^2 = 1
Simplificando:

Passo 6

Observando a equação final:
z^2 - x^22 - (y + 1)^24 = 1
Esta é a forma padrão de um hiperboloide de duas folhas, que geralmente tem a forma:
z^2a^2 - x^2b^2 - y^2c^2 = 1

Resposta

A equação representa um hiperboloide de duas folhas.

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