Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa identificar que tipo de superfície ela representa. Para isso, vamos usar o conteúdo de superfícies quadráticas, que são formas geométricas definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para facilitar a identificação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Vamos reorganizar:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo que envolve . Para isso, pegamos os termos :
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Simplificando os termos constantes:
Subtraindo 4 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a equação por para facilitar a identificação:
Simplificando:

Passo 6

Observando a equação final:
Esta é a forma padrão de um hiperboloide de duas folhas, que geralmente tem a forma:

Resposta

A equação representa um hiperboloide de duas folhas.

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O conjunto pode gerar o -espaço vetorial ? Justifique sua resposta.
Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz abaixo, faça a sua diagonalização e encontre o sinal da forma quadrática .
Considere o conjunto .
(a) é um subespaço vetorial de ? Prove.
(b) Determine uma base para .
© Qual a dimensão de ?