Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
A=[cc 2 & 5 0 & 6 ] ; B=[cc 2 & 4 3 & 5 ] ; C=[cc 1 & 3 2 & 5 ] ; D=[cc 0 & 4 1 & 3 ]
(A otimes B) cdot(C otimes D), e verifique que é igual a (A C) otimes(B D)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro matrizes e e precisa calcular . Depois, vamos verificar se isso é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de produtos de Kronecker e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto de Kronecker ( ). É uma maneira de multiplicar duas matrizes criando uma matriz maior, onde cada elemento da primeira matriz é multiplicado pela segunda matriz inteira.

Passo 3

Vamos calcular A = 2 & 5 0 & 6 . A matriz A otimes B = 2 cdot B & 5 cdot B 0 cdot B & 6 cdot B = 2 cdot 2 & 4 3 & 5 & 5 cdot 2 & 4 3 & 5 0 cdot 2 & 4 3 & 5 & 6 cdot 2 & 4 3 & 5 é:
A otimes B = 4 & 8 6 & 10 & 10 & 20 15 & 25 0 & 0 0 & 0 & 12 & 24 18 & 30
Então, fica assim:
Fazendo as multiplicações:

Passo 4

Agora, vamos calcular C = 1 & 3 2 & 5 . A matriz C otimes D = 1 cdot D & 3 cdot D 2 cdot D & 5 cdot D = 1 cdot 0 & 4 1 & 3 & 3 cdot 0 & 4 1 & 3 2 cdot 0 & 4 1 & 3 & 5 cdot 0 & 4 1 & 3 é:
C otimes D = 0 & 4 1 & 3 & 0 & 12 3 & 9 0 & 8 2 & 6 & 0 & 20 5 & 15
Então, fica assim:
Fazendo as multiplicações:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar por . Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita linha por coluna.
Devido ao tamanho das matrizes resultantes do produto de Kronecker, a multiplicação será uma matriz . Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 6

Após realizar todas as multiplicações e somas necessárias, obtemos:
(A otimes B) cdot (C otimes D) = 24 & 64 & 40 & 120 36 & 96 & 60 & 180 0 & 0 & 0 & 0 72 & 192 & 120 & 360

Passo 7

Agora, vamos calcular A C = 2 & 5 0 & 6 cdot 1 & 3 2 & 5 = 2 cdot 1 + 5 cdot 2 & 2 cdot 3 + 5 cdot 5 0 cdot 1 + 6 cdot 2 & 0 cdot 3 + 6 cdot 5 = 12 & 31 12 & 30 e B D = 2 & 4 3 & 5 cdot 0 & 4 1 & 3 = 2 cdot 0 + 4 cdot 1 & 2 cdot 4 + 4 cdot 3 3 cdot 0 + 5 cdot 1 & 3 cdot 4 + 5 cdot 3 = 4 & 20 5 & 27 separadamente.
Primeiro, :
Agora, :

Passo 8

Agora, vamos calcular (A C) otimes (B D) = 12 & 31 12 & 30 otimes 4 & 20 5 & 27 :
(A C) otimes (B D) = 12 cdot 4 & 20 5 & 27 & 31 cdot 4 & 20 5 & 27 12 cdot 4 & 20 5 & 27 & 30 cdot 4 & 20 5 & 27
Aplicando o produto de Kronecker:
(A C) otimes (B D) = 48 & 240 60 & 324 & 124 & 620 155 & 837 48 & 240 60 & 324 & 120 & 600 150 & 810
Fazendo as multiplicações:

Passo 9

Convertendo para uma única matriz (A C) otimes (B D) = 48 & 240 & 124 & 620 60 & 324 & 155 & 837 48 & 240 & 120 & 600 60 & 324 & 150 & 810 :

Passo 10

Comparando as duas matrizes obtidas:
(A otimes B) cdot (C otimes D) = 24 & 64 & 40 & 120 36 & 96 & 60 & 180 0 & 0 & 0 & 0 72 & 192 & 120 & 360
(A C) otimes (B D) = 48 & 240 & 124 & 620 60 & 324 & 155 & 837 48 & 240 & 120 & 600 60 & 324 & 150 & 810
Observamos que as duas matrizes não são iguais.

Resposta

Após os cálculos, verificamos que não é igual a . Portanto, a igualdade proposta não se sustenta para as matrizes dadas.

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