O conjunto de polinômios em P4 a seguir é LI ou LD? Justifique:
A=2 x, x^2+1, x+1, x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto A que contém quatro polinômios no espaço A = 2x, , x^2+1, , x+1, , x^2-1 , que são:
A pergunta é: esse conjunto é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD)? Para descobrir isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de combinação linear e independência linear da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, se temos:
c1(2x) + c2(x^2+1) + c3(x+1) + c4(x^2-1) = 0
A única solução para os coeficientes c1 = c2 = c3 = c4 = 0 é:
Se existir alguma outra solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, então o conjunto é LD.

Passo 3

Vamos montar a combinação linear:
c1(2x) + c2(x^2+1) + c3(x+1) + c4(x^2-1) = 0
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos para agrupar as potências de .

Passo 4

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
c2x^2 + c4x^2 + 2c1x + c3x + c2 + c3 - c4 = 0
Simplificando:
(c2 + c4)x^2 + (2c1 + c3)x + (c2 + c3 - c4) = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c2 + c4 = 0 2c1 + c3 = 0 c2 + c3 - c4 = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os coeficientes.

Passo 6

Da primeira equação:
c4 = -c2
Da segunda equação:
c3 = -2c1
Substituindo c2 + (-2c1) - (-c2) = 0 Rightarrow c2 - 2c1 + c2 = 0 Rightarrow 2c2 - 2c1 = 0 Rightarrow c2 = c1 e c2 = c1, c3 = -2c1, c4 = -c1 na terceira equação:
Então, temos:
Isso mostra que os coeficientes não são necessariamente zero, pois dependem de , que pode ser qualquer número.

Resposta

O conjunto é Linearmente Dependente (LD).

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