conjunto de polinômios em a seguir é LI ou LD? Justifique:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto A que contém quatro polinômios no espaço , que são:
A pergunta é: esse conjunto é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD)? Para descobrir isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de combinação linear e independência linear da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, se temos:
A única solução para os coeficientes é:
Se existir alguma outra solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, então o conjunto é LD.
Passo 3
Vamos montar a combinação linear:
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos para agrupar as potências de .
Passo 4
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os coeficientes.