T: R^4 R, T(x, y, z, t) doteq 2 x+y-z+3 t,(x, y, z, t) in R^4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por . Estamos lidando com Álgebra Linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver, vamos precisar saber o que é uma transformação linear, como encontrar o núcleo (kernel) e a imagem (range) dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e , e qualquer número real , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos checar se a transformação que temos atende a essas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Suponha que temos dois vetores T(u + v) = 2(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) + 3(t1 + t2) e = (2x1 + y1 - z1 + 3t1) + (2x2 + y2 - z2 + 3t2) .
Calculando = T(u) + T(v) :
Isso mostra que a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Pegue um escalar T(cu) = 2(cx) + c y - c z + 3(c t) e o vetor = c(2x + y - z + 3t) .
Calculando = cT(u) :
Então, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Passo 5

Como ambas as propriedades são verdadeiras, podemos concluir que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o núcleo (kernel) de 2x + y - z + 3t = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .
Ou seja:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar y = -2x + z - 3t :
(x, y, z, t) = (x, -2x + z - 3t, z, t)
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
= x(1, -2, 0, 0) + z(0, 1, 1, 0) + t(0, -3, 0, 1)
Podemos fatorar isso para expressar em termos das variáveis livres :
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores , e .

Passo 8

Por fim, vamos determinar a imagem (range) de . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Como é uma combinação linear das variáveis , a imagem de inclui todos os números reais possíveis. Ou seja, a imagem é todo o conjunto .

Resposta

A transformação é linear, o núcleo de é o conjunto dos vetores tais que , e a sua imagem é toda a reta real .

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