.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que foi pedido! O enunciado nos apresenta uma transformação linear
definida por
. Estamos lidando com Álgebra Linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver, vamos precisar saber o que é uma transformação linear, como encontrar o núcleo (kernel) e a imagem (range) dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
, e qualquer número real
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos checar se a transformação
que temos atende a essas propriedades.
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Suponha que temos dois vetores
e
.
Calculando
:
Isso mostra que a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Pegue um escalar
e o vetor
.
Calculando
:
Então, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.
Passo 5
Como ambas as propriedades são verdadeiras, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o núcleo (kernel) de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que satisfazem
.
Ou seja:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar
:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Podemos fatorar isso para expressar em termos das variáveis livres
:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores
,
e
.
Passo 8
Por fim, vamos determinar a imagem (range) de
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Como
é uma combinação linear das variáveis
, a imagem de
inclui todos os números reais possíveis. Ou seja, a imagem é todo o conjunto
.
Resposta
A transformação
é linear, o núcleo de
é o conjunto dos vetores
tais que
, e a sua imagem é toda a reta real
.