Reduza a matriz abaixo à forma canônica escalonada reduzida por linhas.
A=(ccccc 2 & 2 & -1 & 6 & 4 4 & 4 & 1 & 10 & 13 8 & 8 & -1 & 26 & 19 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! Temos uma matriz e precisamos simplificá-la para a forma canônica escalonada reduzida por linhas. Isso significa que queremos organizar a matriz de forma que fique mais fácil de ver soluções para sistemas lineares. Para isso, vamos usar operações de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que temos:
A = 2 & 2 & -1 & 6 & 4 4 & 4 & 1 & 10 & 13 8 & 8 & -1 & 26 & 19
Nosso objetivo é deixar os elementos abaixo e acima dos pivôs (números principais na diagonal) iguais a zero.

Passo 3

Vamos começar pela primeira coluna. O primeiro elemento da primeira linha já é 2, que será nosso primeiro pivô. Agora, queremos que os elementos abaixo dele na primeira coluna sejam zero. Para isso:
  • Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos 4 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
Linha 2: 4 & 4 & 1 & 10 & 13 - 2 times 2 & 2 & -1 & 6 & 4 = 0 & 0 & 3 & -2 & 5
8 & 8 & -1 & 26 & 19 - 4 times 2 & 2 & -1 & 6 & 4 = 0 & 0 & 3 & 2 & 3
Linha 3: A = 2 & 2 & -1 & 6 & 4 0 & 0 & 3 & -2 & 5 0 & 0 & 3 & 2 & 3
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda coluna. Observamos que os elementos na segunda coluna da segunda e terceira linhas são zero, então vamos focar na terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha na terceira coluna seja zero. Para isso:
  • Linha 3: Subtraímos a Linha 2 da Linha 3.

Linha 3: 0 & 0 & 3 & 2 & 3 - 0 & 0 & 3 & -2 & 5 = 0 & 0 & 0 & 4 & -2
$$
A = 2 & 2 & -1 & 6 & 4 0 & 0 & 3 & -2 & 5 0 & 0 & 0 & 4 & -2

$$
A matriz fica assim:

Passo 5

Vamos agora simplificar as linhas para que os pivôs sejam 1. Começamos pela terceira linha. Dividimos toda a Linha 3 por 4:

Linha 3: 0 & 0 & 0 & 4 & -2 times 14 = 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5
$$
A = 2 & 2 & -1 & 6 & 4 0 & 0 & 3 & -2 & 5 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5
\times \frac{1}{4}

$$
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o elemento acima do pivô na terceira coluna. Queremos que o elemento na segunda linha, terceira coluna seja zero. Para isso:
  • Linha 2: Subtraímos 3 vezes a Linha 3 da Linha 2.

Linha 2: 0 & 0 & 3 & -2 & 5 - 3 times 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 = 0 & 0 & 3 & -5 & 6.5
$$
0 & 0 & 3 & -2 & 5 - 3 times 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 = 0 & 0 & 3 & -5 & 6.5

3 \times
0 & 0 & 3 & -2 & 5 times 13 = 0 & 0 & 1 & -23 & 53

A = 2 & 2 & -1 & 6 & 4 0 & 0 & 1 & -23 & 53 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5
$$
Mas notamos que isso não elimina o 3. Vamos ajustar:
Na verdade, para eliminar o 3, precisamos fazer:

Linha 2:
$$

3 \times

$$
No entanto, isso não elimina o 3. Melhor abordagem: antes simplificar a Linha 2 dividindo por 3.

Linha 2:
$$

\times \frac{1}{3}

$$
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o elemento acima do pivô na terceira coluna usando a Linha 2:
  • Linha 1: Adicionamos a Linha 2 à Linha 1.

Linha 1: 2 & 2 & -1 & 6 & 4 + 0 & 0 & 1 & -23 & 53 = 2 & 2 & 0 & 163 & 173
$$
A = 2 & 2 & 0 & 163 & 173 0 & 0 & 1 & -23 & 53 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5
+

$$
A matriz fica:

Passo 8

Finalmente, vamos simplificar a primeira linha para que o pivô seja 1. Dividimos toda a Linha 1 por 2:

Linha 1: 2 & 2 & 0 & 163 & 173 times 12 = 1 & 1 & 0 & 83 & 176
$$
A = 1 & 1 & 0 & 83 & 176 0 & 0 & 1 & -23 & 53 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5
\times \frac{1}{2}

$$
A matriz fica:

Resposta

A forma canônica escalonada reduzida por linhas da matriz 1 & 1 & 0 & 83 & 176 0 & 0 & 1 & -23 & 53 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 é:

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