Seja C a curva parametrizada r(t) = (t - 1, 1 - t^2, 2 + 2/3 * t^3) ; t in [0, 1]. O comprimento de C é:
Escolha uma opção:
  • 22/3
    ○ 2
  • 3/5
  • 5/3
    10/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada para entre 0 e 1. A gente precisa descobrir o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre comprimento de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso vai nos dar a taxa de variação da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, ou seja, . A magnitude nos dá a “velocidade” da curva em cada ponto, essencial para calcular o comprimento total.

Passo 4

Olha só que legal! A expressão dentro da raiz pode ser simplificada:
Então,

Passo 5

Agora, para achar o comprimento da curva, a gente integra essa magnitude de até :

Passo 6

Vamos fazer essa integração:
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

O comprimento da curva é .

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