Converta as equações paramétricas
para a forma cartesiana e encontre onde essa curva intersecta a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações parametrizadas:
e
. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma relação direta entre
e
sem o parâmetro
. Depois disso, vamos descobrir onde essa curva cruza a reta
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o
e encontrar a relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações paramétricas que temos:
Queremos eliminar o
para encontrar uma relação direta entre
e
. Para fazer isso, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Então, podemos resolver para
:
Passo 3
Agora que encontramos
em termos de
e
, vamos substituir esse valor na equação de
ou
para obter a equação cartesiana. Vamos substituir na equação de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
Expandindo o quadrado:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar todos os termos para um lado da equação, deixando zero do outro:
Essa é a equação cartesiana da curva.
Passo 5
Com a equação cartesiana em mãos, vamos encontrar onde essa curva intersecta a reta
. Para isso, vamos substituir
na equação da curva pela expressão
:
Vamos simplificar passo a passo:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática em
:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação da reta
:
Para
:
Para
:
Resposta
A curva intersepta a reta
nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Seja
a curva parametrizada
. O comprimento de
é:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
○ 2 -
-
O conjunto dos pontos interseção da curva
com o cilindro
está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
-
○
○ -
Encontre a equação cartesiana da curva dada por
. Em seguida, determine onde essa curva intersecta a reta
.
Para as equações paramétricas
, encontre a equação da linha tangente em
.