Converta as equações paramétricas x(t) = t^2 + t, y(t) = t^2 - t para a forma cartesiana e encontre onde essa curva intersecta a reta y = 2x - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações parametrizadas: e . Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma relação direta entre e sem o parâmetro . Depois disso, vamos descobrir onde essa curva cruza a reta . Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o e encontrar a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações paramétricas que temos:
Queremos eliminar o para encontrar uma relação direta entre e . Para fazer isso, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Então, podemos resolver para :

Passo 3

Agora que encontramos em termos de e , vamos substituir esse valor na equação de ou para obter a equação cartesiana. Vamos substituir na equação de :
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
Expandindo o quadrado:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar todos os termos para um lado da equação, deixando zero do outro:
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 5

Com a equação cartesiana em mãos, vamos encontrar onde essa curva intersecta a reta . Para isso, vamos substituir na equação da curva pela expressão :
Vamos simplificar passo a passo:
Somando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática em :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação da reta :
Para :
Para :

Resposta

A curva intersepta a reta nos pontos e .

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