No conjunto
, seja
uma relação. Descreva as classes de equivalência de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar para o conjunto
e analisar uma relação
que está definida como
. A gente vai precisar entender o que são classes de equivalência e como identificá-las usando essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação é de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva. Isso significa que:
- Reflexiva: todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simétrica: se
está relacionado com , então está relacionado com . - Transitiva: se
está relacionado com e com , então está relacionado com .
No nosso caso, a relação
parece cumprir essas propriedades, já que temos pares como
,
,
(reflexiva), e se temos
então também temos
(simétrica). Vamos assumir que é uma relação de equivalência para seguir adiante.
Passo 3
Agora, para encontrar as classes de equivalência, a gente precisa ver quais elementos estão relacionados entre si. Olhando para
:
- O 1 está relacionado com ele mesmo e com o 2.
- O 2 está relacionado com ele mesmo e com o 1.
- O 3 está apenas relacionado consigo mesmo.
Isso mostra que 1 e 2 estão no mesmo grupo, porque eles se relacionam mutuamente. Já o 3 não está relacionado com ninguém além dele mesmo.
Passo 4
Com base nisso, podemos formar as classes de equivalência:
- A classe de 1 inclui 1 e 2, então escrevemos
. - A classe de 2 também inclui 1 e 2, então
. - A classe de 3 inclui apenas ele mesmo, então
.
Resposta
As classes de equivalência de
são
e
.