No conjunto {1, 2, 3}, seja R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} uma relação. Descreva as classes de equivalência de R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar para o conjunto {1, 2, 3} e analisar uma relação R que está definida como . A gente vai precisar entender o que são classes de equivalência e como identificá-las usando essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação é de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva. Isso significa que:
  • Reflexiva: todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  • Simétrica: se a está relacionado com b, então b está relacionado com a.
  • Transitiva: se a está relacionado com b e b com c, então a está relacionado com c.
No nosso caso, a relação R parece cumprir essas propriedades, já que temos pares como 1,1, (2, 2), 3,3 (reflexiva), e se temos 1,2 então também temos (2,1) (simétrica). Vamos assumir que é uma relação de equivalência para seguir adiante.

Passo 3

Agora, para encontrar as classes de equivalência, a gente precisa ver quais elementos estão relacionados entre si. Olhando para R:
  • O 1 está relacionado com ele mesmo e com o 2.
  • O 2 está relacionado com ele mesmo e com o 1.
  • O 3 está apenas relacionado consigo mesmo.
Isso mostra que 1 e 2 estão no mesmo grupo, porque eles se relacionam mutuamente. Já o 3 não está relacionado com ninguém além dele mesmo.

Passo 4

Com base nisso, podemos formar as classes de equivalência:
  • A classe de 1 inclui 1 e 2, então escrevemos .
  • A classe de 2 também inclui 1 e 2, então .
  • A classe de 3 inclui apenas ele mesmo, então .

Resposta

As classes de equivalência de R são e .

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