Encontre os pontos do gráfico da função f(x) = x^3 - x^2 - x + 1 em que a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. A função dada é . A pergunta quer saber em quais pontos do gráfico dessa função a reta tangente é horizontal. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Se a reta tangente é horizontal, isso significa que a inclinação é zero. Portanto, precisamos encontrar a derivada de e igualá-la a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usamos as regras de derivação:
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal, ou seja, . Então, vamos resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 5

Vamos calcular o discriminante ( ):
Como , teremos duas soluções reais:
Portanto:

Passo 6

Agora que encontramos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de :
Para :
Para :
Convertendo para denominador 27:

Resposta

Os pontos do gráfico onde a reta tangente é horizontal são:

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