Encontre os pontos do gráfico da função
em que a reta tangente é horizontal.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. A função dada é
. A pergunta quer saber em quais pontos do gráfico dessa função a reta tangente é horizontal. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. Se a reta tangente é horizontal, isso significa que a inclinação é zero. Portanto, precisamos encontrar a derivada de
e igualá-la a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usamos as regras de derivação:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal, ou seja,
. Então, vamos resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular o discriminante (
):
Como
, teremos duas soluções reais:
Portanto:
Passo 6
Agora que encontramos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
:
Para
:
Para
:
Convertendo para denominador 27:
Resposta
Os pontos do gráfico onde a reta tangente é horizontal são: