Mostre que a função f(x) = x^3 + 7*x - 3 não possui uma reta tangente com inclinação igual a 4 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos mostrar que não existe uma reta tangente a essa função que tenha inclinação igual a 4. Esse problema está relacionado com o cálculo diferencial, especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes em pontos específicos de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de é denotada por .
Para derivar , usamos as regras de derivação:
Então, a derivada é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar se existe algum valor de que faça a derivada igual a 4, ou seja:
Substituindo a expressão da derivada:
Vamos resolver essa equação para .
\

Passo 4

Subtraindo 7 de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por 3:
Aqui, percebemos que estamos procurando um número real cujo quadrado é -1. Mas sabemos que nenhum número real ao quadrado resulta em um número negativo. Portanto, não existe um valor real de que satisfaça essa equação.

Resposta

Não existe nenhum valor real de que faça a derivada . Assim, a função não possui uma reta tangente com inclinação igual a 4.

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