Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo: |x-2| - |x-5| > x

Passo 1

Vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com inequações modulares, que envolvem valores absolutos. Para resolver isso, vamos dividir o problema em partes, analisando diferentes intervalos de para simplificar os valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. No caso, muda de sinal em e muda em . Isso divide a reta real em três intervalos:
Vamos resolver a inequação em cada um desses intervalos.

Passo 3

Intervalo 1:
  • (porque é negativo)
  • (porque é negativo)
Substituindo na inequação:
Como estamos no intervalo , a solução aqui é .

Passo 4

Intervalo 2:
  • (porque é positivo ou zero)
  • (porque é negativo)
Substituindo na inequação:
No entanto, estamos no intervalo , e não se encaixa aqui. Portanto, não há soluções neste intervalo.

Passo 5

Intervalo 3:
  • (porque é positivo)
  • (porque é positivo ou zero)
Substituindo na inequação:
Estamos no intervalo , mas a inequação resulta em , o que não se aplica aqui. Portanto, também não há soluções neste intervalo.

Resposta

A solução da inequação é .

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