Resolva os sistemas de inequações: 8x - 2 < x - 1, 2x^2 - x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de inequações juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores de que satisfazem as duas inequações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, como resolver inequações lineares e quadráticas. Precisaremos manipular as inequações para encontrar os intervalos de que funcionam para cada uma e depois ver onde esses intervalos se sobrepõem.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira inequação:
Primeiro, vamos trazer todos os termos com para um lado e os números para o outro:
Agora, dividimos ambos os lados por 7 para isolar :
Então, a solução da primeira inequação é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda inequação:
Primeiro, vamos deixar a inequação igual a zero:
Essa é uma inequação quadrática. Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática correspondente:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Agora, substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas raízes:
Essas raízes dividem a linha dos números em intervalos. Para saber onde a inequação é verdadeira, testamos um valor em cada intervalo:
  • Para , por exemplo, :
    (não satisfaz)
  • Para , por exemplo, :
    (satisfaz)
  • Para , por exemplo, :
    (não satisfaz)
Então, a solução da segunda inequação é:

Passo 4

Agora que temos as soluções das duas inequações:
Vamos encontrar o conjunto de que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. Isso significa encontrar a intersecção dos intervalos.
O primeiro intervalo é todo número menor que , e o segundo vai de até 1. A parte que está nos dois intervalos é de até .

Resposta

A solução do sistema de inequações é:

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