Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo: |x + 1| < |2x - 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Esse tipo de problema está na área de equações e inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com os módulos (os símbolos das barras) e dividir a inequação em casos para encontrar os valores de que satisfazem a condição.

Passo 2

Primeiro, lembrando que significa que a distância de até zero é menor que a distância de até zero na reta numérica. Mas para resolver isso de forma prática, vamos considerar os diferentes casos baseados nos sinais das expressões dentro dos módulos.

Passo 3

Vamos começar identificando os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. Para , isso ocorre quando . Para , ocorre quando . Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos que vamos analisar separadamente:

Passo 4

Caso 1:
Nessa faixa, é negativo e também é negativo. Então:
Substituindo na inequação:
Agora, resolvendo:
Como estamos no caso e é sempre verdadeiro nesse intervalo, todas as soluções nesse caso são válidas. Então, está incluído na solução.

Passo 5

Caso 2:
Aqui, é não negativo e é negativo. Então:
Substituindo na inequação:
Resolvendo:
Dentro desse intervalo , a condição nos dá .

Passo 6

Caso 3:
Aqui, tanto quanto são não negativos. Então:
Substituindo na inequação:
Resolvendo:
Dentro desse intervalo , a condição nos dá .

Resposta

O conjunto solução da inequação é:
Em intervalo, fica:

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