Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Esse tipo de problema está na área de equações e inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com os módulos (os símbolos das barras) e dividir a inequação em casos para encontrar os valores de
que satisfazem a condição.
Passo 2
Primeiro, lembrando que
significa que a distância de
até zero é menor que a distância de
até zero na reta numérica. Mas para resolver isso de forma prática, vamos considerar os diferentes casos baseados nos sinais das expressões dentro dos módulos.
Passo 3
Vamos começar identificando os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. Para
, isso ocorre quando
. Para
, ocorre quando
. Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos que vamos analisar separadamente:
Passo 4
Caso 1:
Nessa faixa,
é negativo e
também é negativo. Então:
Substituindo na inequação:
Agora, resolvendo:
Como estamos no caso
e
é sempre verdadeiro nesse intervalo, todas as soluções nesse caso são válidas. Então,
está incluído na solução.
Passo 5
Caso 2:
Aqui,
é não negativo e
é negativo. Então:
Substituindo na inequação:
Resolvendo:
Dentro desse intervalo
, a condição
nos dá
.
Passo 6
Caso 3:
Aqui, tanto
quanto
são não negativos. Então:
Substituindo na inequação:
Resolvendo:
Dentro desse intervalo
, a condição
nos dá
.
Resposta
O conjunto solução da inequação
é:
Em intervalo, fica: