Resolva as desigualdades: $x(x+4)2(x-2){-4}<0
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Esse exercício envolve entender como as funções se comportam e como os sinais mudam quando a gente tem potências e frações. Vamos precisar lembrar sobre sinais de funções, potências pares e ímpares, e como resolver desigualdades envolvendo frações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da expressão, ou seja, os valores de
que fazem com que cada fator seja igual a zero ou que a expressão não esteja definida. Olhando para
:
-
faz o primeiro fator zero. -
dá , que também anula o segundo fator. -
dá , mas como está no denominador com expoente negativo, a expressão não está definida para .
Então, nossos pontos críticos são
,
e
.
Passo 3
Vamos dividir a reta dos números reais em intervalos usando esses pontos críticos:
,
,
, e
. Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
Passo 4
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e ver se a expressão é positiva ou negativa.
-
Intervalo
: Escolha Na verdade, o resultado é negativo porqueé negativo. Então, a expressão é negativa nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha A expressão é negativa nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha A expressão é positiva nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha A expressão é positiva nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos olhar quando a expressão é menor que zero. Pelo que vimos:
- Nos intervalos
e , a expressão é negativa. - Nos intervalos
e , a expressão é positiva.
Também precisamos verificar os pontos críticos:
- Em
e , a expressão é igual a zero. - Em
, a expressão não está definida.
Passo 6
Como a desigualdade é estritamente menor que zero (
), não incluímos os pontos onde a expressão é zero ou não está definida. Portanto, a solução é a união dos intervalos onde a expressão é negativa.
Resposta
A solução da desigualdade é
.