Resolva as desigualdades: $x(x+4)2(x-2){-4}<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Esse exercício envolve entender como as funções se comportam e como os sinais mudam quando a gente tem potências e frações. Vamos precisar lembrar sobre sinais de funções, potências pares e ímpares, e como resolver desigualdades envolvendo frações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da expressão, ou seja, os valores de que fazem com que cada fator seja igual a zero ou que a expressão não esteja definida. Olhando para :
  • faz o primeiro fator zero.
  • , que também anula o segundo fator.
  • , mas como está no denominador com expoente negativo, a expressão não está definida para .
Então, nossos pontos críticos são , e .

Passo 3

Vamos dividir a reta dos números reais em intervalos usando esses pontos críticos: , , , e . Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 4

Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e ver se a expressão é positiva ou negativa.
  1. Intervalo : Escolha
    Na verdade, o resultado é negativo porque é negativo. Então, a expressão é negativa nesse intervalo.
  2. Intervalo : Escolha
    A expressão é negativa nesse intervalo.
  3. Intervalo : Escolha
    A expressão é positiva nesse intervalo.
  4. Intervalo : Escolha
    A expressão é positiva nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos olhar quando a expressão é menor que zero. Pelo que vimos:
  • Nos intervalos e , a expressão é negativa.
  • Nos intervalos e , a expressão é positiva.
Também precisamos verificar os pontos críticos:
  • Em e , a expressão é igual a zero.
  • Em , a expressão não está definida.

Passo 6

Como a desigualdade é estritamente menor que zero ( ), não incluímos os pontos onde a expressão é zero ou não está definida. Portanto, a solução é a união dos intervalos onde a expressão é negativa.

Resposta

A solução da desigualdade é .

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