O conjunto solução da equação log_2(x+1) + log_2(x-3) = 5 é:
(a) S = {7}
© S = {17, 3}
(b) S = {7, -5}
(d) S = {7 / 2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação log_2(x+1) + log_2(x-3) = 5. Esse exercício trabalha com logaritmos, que são a maneira de inverter potências. Para resolver, vamos precisar das propriedades dos logaritmos e saber como transformá-los em expressões mais simples para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: quando você tem a soma de dois logaritmos com a mesma base, , isso é igual a . Então, podemos simplificar a equação usando essa regra.

Passo 3

Aplicando a propriedade, temos:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, para resolver a equação logarítmica, vamos reescrevê-la na forma exponencial. Sabemos que se , então . Aplicando isso à nossa equação:
Calculando :

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Expanda a multiplicação:
Simplificando:

Passo 6

Vamos trazer o 32 para o lado esquerdo da equação:
Agora, temos uma equação quadrática que precisamos resolver.

Passo 7

Para resolver a equação quadrática , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 8

Isso nos dá duas soluções:

Passo 9

Agora, precisamos verificar se ambas as soluções são válidas no contexto da equação original. Como estamos lidando com logaritmos, os argumentos e devem ser positivos:
Portanto, deve ser maior que 3. Assim, não é válido, pois não satisfaz .

Resposta

A solução da equação é , que corresponde à opção (a).

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