Encontre as soluções reais positivas da equação
log_x(x+6) = 2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as soluções reais positivas da equação:
log_x(x+6) = 2
Aqui, estamos lidando com logaritmos e equações exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de logaritmo e como transformar a equação logarítmica em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que a base b elevada à potência c é igual a a, ou seja:
Aplicando isso à nossa equação, onde a base do logaritmo é x, o argumento é e o resultado é , temos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para deixá-la igual a zero, o que facilita a resolução:
Isso é uma equação quadrática na forma padrão , onde , e .

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Vamos substituir os valores de a, b e c na fórmula:

Passo 5

Simplificando os cálculos dentro da raiz quadrada:
Como , temos:

Passo 6

Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 7

Agora, vamos verificar quais dessas soluções são válidas no contexto do problema. Lembrando que estamos procurando soluções reais positivas.
  • x = 3: É positiva e válida.
  • x = -2: É negativa e, além disso, o logaritmo com base negativa não é definido no conjunto dos números reais.
Portanto, a única solução válida é .

Resposta

A solução real positiva da equação é .

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