Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber se ele é uma base para , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, precisamos saber dois conceitos importantes: dimensão e linearidade. Vamos verificar se os polinômios de são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de é 4, porque um polinômio de grau no máximo 3 tem quatro coeficientes (para ). Uma base para precisa ter exatamente 4 polinômios linearmente independentes. Nosso conjunto tem apenas 3 polinômios, então já já percebemos que não pode ser uma base completa. Mas vamos continuar para entender melhor.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os polinômios em são linearmente independentes. Para isso, configuramos uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é , o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Mesmo sendo linearmente independentes, para ser uma base de , precisamos que eles gerem todo o espaço. Mas como tem dimensão 4 e nosso conjunto tem apenas 3 polinômios, ele não consegue cobrir todos os polinômios de grau até 3. Faltaria um polinômio para completar a base.
Resposta
Não, o conjunto não é uma base de , pois possui apenas 3 polinômios, enquanto tem dimensão 4, necessitando de 4 polinômios linearmente independentes para formar uma base.