O conjunto
A=t^3, 2 t^2-t+3, t^3-3 t^2+4 t-1
é base de P3? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber se ele é uma base para , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, precisamos saber dois conceitos importantes: dimensão e linearidade. Vamos verificar se os polinômios de são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de é 4, porque um polinômio de grau no máximo 3 tem quatro coeficientes (para ). Uma base para precisa ter exatamente 4 polinômios linearmente independentes. Nosso conjunto tem apenas 3 polinômios, então já já percebemos que não pode ser uma base completa. Mas vamos continuar para entender melhor.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os polinômios em c1 t^3 + c2 (2 t^2 - t + 3) + c3 (t^3 - 3 t^2 + 4 t - 1) = 0 são linearmente independentes. Para isso, configuramos uma combinação linear igual a zero:
c1 + c3 = 0 2 c2 - 3 c3 = 0 - c2 + 4 c3 = 0 3 c2 - c3 = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é , o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Mesmo sendo linearmente independentes, para ser uma base de , precisamos que eles gerem todo o espaço. Mas como tem dimensão 4 e nosso conjunto tem apenas 3 polinômios, ele não consegue cobrir todos os polinômios de grau até 3. Faltaria um polinômio para completar a base.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base de , pois possui apenas 3 polinômios, enquanto tem dimensão 4, necessitando de 4 polinômios linearmente independentes para formar uma base.

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