O conjunto

é base de ? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber se ele é uma base para , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, precisamos saber dois conceitos importantes: dimensão e linearidade. Vamos verificar se os polinômios de são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de é 4, porque um polinômio de grau no máximo 3 tem quatro coeficientes (para ). Uma base para precisa ter exatamente 4 polinômios linearmente independentes. Nosso conjunto tem apenas 3 polinômios, então já já percebemos que não pode ser uma base completa. Mas vamos continuar para entender melhor.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os polinômios em são linearmente independentes. Para isso, configuramos uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é , o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Mesmo sendo linearmente independentes, para ser uma base de , precisamos que eles gerem todo o espaço. Mas como tem dimensão 4 e nosso conjunto tem apenas 3 polinômios, ele não consegue cobrir todos os polinômios de grau até 3. Faltaria um polinômio para completar a base.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base de , pois possui apenas 3 polinômios, enquanto tem dimensão 4, necessitando de 4 polinômios linearmente independentes para formar uma base.

Exercícios relacionados

Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de :
o)
Encontre equações paramétricas para a reta gerada pelo vetor .
No espaço vetorial , consideremos a seguinte base: . Determinar o vetor coordenada de em relação à base B se:
Considere o sistema linear , onde: e .
(b) Determine duas outras soluções deste sistema diferentes da solução do item (a).