No espaço vetorial R^3, consideremos a seguinte base: B=(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,1). Determinar o vetor coordenada de v in R^3 em relação à base B se:
v=(1,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor no espaço e uma base . O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas desse vetor na base . Isso envolve entender como expressar como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Isso significa que v = c1 cdot (1,0,0) + c2 cdot (0,1,0) + c3 cdot (1,-1,1) pode ser escrito como:
Aqui, , e são os escalares que queremos encontrar. Nosso objetivo é descobrir quais valores multiplicados por cada vetor da base resultam no vetor .

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para facilitar:
(1, -1, 1) = c1 cdot (1,0,0) + c2 cdot (0,1,0) + c3 cdot (1,-1,1)
Isso nos dá o sistema de equações:
c1 + c3 = 1 c2 - c3 = -1 c3 = 1
A última equação já nos dá o valor de .

Passo 4

Sabendo que c1 + 1 = 1 Rightarrow c1 = 0 , podemos substituir esse valor nas outras equações:
c2 - 1 = -1 Rightarrow c2 = 0
Então, encontramos que e .

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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