Considere o sistema linear , onde: e .
(b) Determine duas outras soluções deste sistema diferentes da solução do item (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas soluções diferentes para o sistema linear , onde a matriz e o vetor são fornecidos. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de sistemas lineares e suas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e identificar se o sistema tem infinitas soluções, o que nos permitirá encontrar as soluções diferentes que o exercício pede.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema . Para isso, vamos montar o sistema de equações a partir da matriz e do vetor :
Passo 3
Vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Nosso objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma onde possamos facilmente encontrar os valores de e .
Passo 4
Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Passo 5
Vamos eliminar o das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos 3 vezes a equação 1 da equação 2 e adicionamos 2 vezes a equação 1 à equação 3:
Equação 2:
Equação 3:
Passo 6
Simplificando as equações:
Equação 2:
Equação 3:
Passo 7
Agora, temos o sistema simplificado:
Observamos que as equações 2 e 3 são proporcionais, o que indica que há infinitas soluções.
Passo 8
Vamos resolver a equação 2 para expressar uma variável em termos da outra. Podemos, por exemplo, resolver para :
Passo 9
Agora, substituímos na equação 1:
Passo 10
Como é uma variável livre, podemos atribuir um valor a ela e encontrar . Vamos escolher dois valores diferentes para para encontrar duas soluções distintas.