Considere o sistema linear , onde: e .
(b) Determine duas outras soluções deste sistema diferentes da solução do item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas soluções diferentes para o sistema linear , onde a matriz e o vetor são fornecidos. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de sistemas lineares e suas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e identificar se o sistema tem infinitas soluções, o que nos permitirá encontrar as soluções diferentes que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema . Para isso, vamos montar o sistema de equações a partir da matriz e do vetor :

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Nosso objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma onde possamos facilmente encontrar os valores de e .

Passo 4

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:

Passo 5

Vamos eliminar o das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos 3 vezes a equação 1 da equação 2 e adicionamos 2 vezes a equação 1 à equação 3:
  • Equação 2:
  • Equação 3:

Passo 6

Simplificando as equações:
  • Equação 2:
  • Equação 3:

Passo 7

Agora, temos o sistema simplificado:
Observamos que as equações 2 e 3 são proporcionais, o que indica que há infinitas soluções.

Passo 8

Vamos resolver a equação 2 para expressar uma variável em termos da outra. Podemos, por exemplo, resolver para :

Passo 9

Agora, substituímos na equação 1:

Passo 10

Como é uma variável livre, podemos atribuir um valor a ela e encontrar . Vamos escolher dois valores diferentes para para encontrar duas soluções distintas.

Passo 11

Primeira solução:
Escolhemos :
Então, a primeira solução é:
Segunda solução:
Escolhemos :
Então, a segunda solução é:

Resposta

Duas soluções diferentes para o sistema são:

Exercícios relacionados

No espaço vetorial , consideremos a seguinte base: . Determinar o vetor coordenada de em relação à base B se:
O conjunto

é base de ? Justificar.
Considere as matrizes: .
(b) Diga quais dos produtos seguintes não estão definidos: B.C, A.C, , e determine os que estão definidos.
Uma matriz quadrada diz-se nilpotente se existe tal que , e o menor número natural tal que é chamado de índice de nilpotência de . Mostre que é nilpotente de índice 3. Onde .