Considere o sistema linear A X=B, onde: A=[ccc1 & 1 & -1 3 & -2 & 2 -2 & 3 & -3] e B=[c4 7 -3].
(b) Determine duas outras soluções deste sistema diferentes da solução do item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas soluções diferentes para o sistema linear , onde a matriz e o vetor são fornecidos. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de sistemas lineares e suas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e identificar se o sistema tem infinitas soluções, o que nos permitirá encontrar as soluções diferentes que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema 1x1 + 1x2 - 1x3 = 4 3x1 - 2x2 + 2x3 = 7 -2x1 + 3x2 - 3x3 = -3 . Para isso, vamos montar o sistema de equações a partir da matriz e do vetor :

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Nosso objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma onde possamos facilmente encontrar os valores de e .

Passo 4

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & -1 & | & 4 3 & -2 & 2 & | & 7 -2 & 3 & -3 & | & -3

Passo 5

Vamos eliminar o das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos 3 vezes a equação 1 da equação 2 e adicionamos 2 vezes a equação 1 à equação 3:
  • Equação 2:
  • Equação 3:

Passo 6

Simplificando as equações:
  • Equação 2: -5x2 + 5x3 = -5
5x2 - 5x3 = 5
  • Equação 3:

Passo 7

Agora, temos o sistema simplificado:
1x1 + 1x2 - 1x3 = 4 -5x2 + 5x3 = -5 5x2 - 5x3 = 5
Observamos que as equações 2 e 3 são proporcionais, o que indica que há infinitas soluções.

Passo 8

Vamos resolver a equação 2 para expressar uma variável em termos da outra. Podemos, por exemplo, resolver para -5x2 + 5x3 = -5 implies x2 = x3 + 1 :

Passo 9

Agora, substituímos x1 + (x3 + 1) - x3 = 4 implies x1 + 1 = 4 implies x1 = 3 na equação 1:

Passo 10

Como é uma variável livre, podemos atribuir um valor a ela e encontrar . Vamos escolher dois valores diferentes para para encontrar duas soluções distintas.

Passo 11

Primeira solução:
Escolhemos x2 = 0 + 1 = 1 x1 = 3 :
X = 3 1 0
Então, a primeira solução é:
x2 = 1 + 1 = 2 x1 = 3
Segunda solução:
Escolhemos X = 3 2 1 :
Então, a segunda solução é:

Resposta

Duas soluções diferentes para o sistema são:
X1 = 3 1 0 e X2 = 3 2 1

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