O conjunto dos tais que pode ser representado por:
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para representar o conjunto de vetores no espaço que satisfazem a equação . Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente à descrição de soluções de sistemas lineares usando combinações lineares e espaços geradores. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as variáveis livres e expressar a solução de forma vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada: . Essa é uma equação linear que relaciona e . Para encontrar todas as soluções possíveis, precisamos expressar uma das variáveis em função da outra e das variáveis que não estão relacionadas por essa equação.
Passo 3
Vamos resolver a equação para :
Agora, percebemos que e não aparecem nessa equação, ou seja, elas são variáveis livres. Isso significa que podem assumir qualquer valor real.
Passo 4
Como e são livres, vamos parametrizar o conjunto de soluções em termos de e , onde e são parâmetros livres que pertencem a . A variável também pode ser livre, mas está ligada a pela equação que já resolvemos.
Passo 5
Com as variáveis parametrizadas, podemos escrever a solução geral como:
Onde .
Passo 6
Agora, vamos expressar isso em forma vetorial. Podemos separar os termos que dependem de cada parâmetro:
Isso dá:
Passo 7
Simplificando, a representação vetorial fica:
Isso mostra que o conjunto é formado por uma combinação linear das colunas, mais um vetor particular.
Passo 8
Agora, comparando com a opção dada no exercício:
Podemos ver que o vetor particular satisfaz a equação original:
Passo 9
No entanto, observamos que os vetores no espaço gerador não correspondem exatamente aos que encontramos. Na nossa solução, os vetores livres são , e . Já na opção E, os vetores são:
Percebemos que há diferenças nos vetores, especialmente no segundo vetor e na componente .
Passo 10
Além disso, na nossa solução, o vetor particular tem e , enquanto na opção E esses valores são diferentes. Isso indica que a opção E não está representando corretamente todas as soluções possíveis do conjunto dado pela equação .
Resposta
A representação das soluções está incorreta na opção E, pois os vetores no espaço gerador não correspondem aos necessários para abranger todas as possíveis soluções do conjunto dado.