O conjunto dos (x1, x2, x3, x4) in R^4 tais que 7 x2+x4=2 pode ser representado por:
(E) [r-1 2 -2 -12]+span[r1 0 -7 0],[l0 3 0 0],[l0 0 0 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para representar o conjunto de vetores no espaço que satisfazem a equação . Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente à descrição de soluções de sistemas lineares usando combinações lineares e espaços geradores. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as variáveis livres e expressar a solução de forma vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada: . Essa é uma equação linear que relaciona e . Para encontrar todas as soluções possíveis, precisamos expressar uma das variáveis em função da outra e das variáveis que não estão relacionadas por essa equação.

Passo 3

Vamos resolver a equação para x4 = 2 - 7x2 :
Agora, percebemos que e não aparecem nessa equação, ou seja, elas são variáveis livres. Isso significa que podem assumir qualquer valor real.

Passo 4

Como e são livres, vamos parametrizar o conjunto de soluções em termos de e , onde e são parâmetros livres que pertencem a . A variável também pode ser livre, mas está ligada a pela equação que já resolvemos.

Passo 5

Com as variáveis parametrizadas, podemos escrever a solução geral como:
(x1, x2, x3, x4) = (s, t, r, 2 - 7t)
Onde .

Passo 6

Agora, vamos expressar isso em forma vetorial. Podemos separar os termos que dependem de cada parâmetro:
x1 &= s x2 &= t x3 &= r x4 &= 2 - 7t
Isso dá:
(x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 0, 2) + s(1, 0, 0, 0) + t(0, 1, 0, -7) + r(0, 0, 1, 0)

Passo 7

Simplificando, a representação vetorial fica:
& 0 0 0 2 + s 1 0 0 0 + t 0 1 0 -7 + r 0 0 1 0
Isso mostra que o conjunto é formado por uma combinação linear das colunas, mais um vetor particular.

Passo 8

Agora, comparando com a opção dada no exercício:
[r -1 2 -2 -12 ] + span[r 1 0 -7 0 ], [l 0 3 0 0 ], [l 0 0 0 1 ]
Podemos ver que o vetor particular -1 2 -2 -12 satisfaz a equação original:
7x2 + x4 = 7 times 2 + (-12) = 14 - 12 = 2

Passo 9

No entanto, observamos que os vetores no espaço gerador não correspondem exatamente aos que encontramos. Na nossa solução, os vetores livres são 1 0 0 0 , 0 1 0 -7 e 0 0 1 0 . Já na opção E, os vetores são:
1 0 -7 0 , 0 3 0 0 , 0 0 0 1
Percebemos que há diferenças nos vetores, especialmente no segundo vetor e na componente .

Passo 10

Além disso, na nossa solução, o vetor particular tem e , enquanto na opção E esses valores são diferentes. Isso indica que a opção E não está representando corretamente todas as soluções possíveis do conjunto dado pela equação .

Resposta

A representação das soluções está incorreta na opção E, pois os vetores no espaço gerador não correspondem aos necessários para abranger todas as possíveis soluções do conjunto dado.

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