O conjunto dos (x1, x2, x3, x4) in R^4 tais que 7 x2+x4=2 pode ser representado por:
(H) [r1 3 2 -19]+span[r0 -7 0 1],[l4 0 0 0],[r0 0 -1 0]

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem que representar todos os vetores em 4 dimensões que satisfazem a equação . Isso significa que estamos lidando com espaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver, precisamos expressar alguns componentes em função de outros, usando parâmetros livres.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para isolar uma das variáveis. Vamos resolver para 7x2 + x4 = 2 implies x4 = 2 - 7x2 :
Agora, sabemos que depende de . As outras variáveis, e , não aparecem na equação, então elas podem ser quaisquer números reais. Isso significa que podemos tratá-las como parâmetros livres.

Passo 3

Vamos chamar x1 = s x3 = t e x1 = s x2 = u x3 = t x4 = 2 - 7u de parâmetros livres, digamos e respectivamente:
E já temos como outro parâmetro livre, vamos chamá-lo de . Então, podemos expressar todas as componentes do vetor em termos desses parâmetros:

Passo 4

Agora, vamos escrever o vetor x1 x2 x3 x4 = s u t 2 - 7u usando esses parâmetros:

[
s u t 2 - 7u = 0 0 0 2 + s 1 0 0 0 + u 0 1 0 -7 + t 0 0 1 0


]
Podemos separar isso em duas partes: uma constante e uma combinação linear dos parâmetros:

[


+
s
+
u
+
t
]

Passo 5

Então, juntando tudo, podemos escrever o conjunto de soluções como um vetor fixo mais uma combinação linear de vetores que formam a “span” (espaço gerado):

[
x1 x2 x3 x4 = 0 0 0 2 + s 1 0 0 0 + u 0 1 0 -7 + t 0 0 1 0

x1 x2 x3 x4 = 0 0 0 2 + span 1 0 0 0 , 0 1 0 -7 , 0 0 1 0
  • s
  • u
  • t
    ]
Podemos reescrever isso de uma forma mais compacta:

[

  • span\left{
    ,
    ,

    \right}
    ]

Resposta

O conjunto dos vetores 0 0 0 2 + span 1 0 0 0 , 0 1 0 -7 , 0 0 1 0 que satisfazem pode ser representado por:

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