O conjunto dos tais que pode ser representado por:
(F)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de vetores no espaço que satisfazem a equação . O objetivo é representar esse conjunto de vetores de uma forma mais fácil de visualizar, usando uma combinação de um vetor específico e uma combinação linear de outros vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e como representá-los usando span e vetores base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um vetor específico que satisfaça a equação 7x2 + x4 = 2 . Vamos escolher valores simples para x4 = 2 - 7x2 e x4 = 2 - 7(1) = 2 - 7 = -5 e resolver para 2 1 -1 -5 e .
Por exemplo, se escolhermos e , podemos resolver para e :
Vamos isolar :
Para facilitar, vamos escolher :
Então, um vetor específico que satisfaz a equação é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores que formam a parte da solução que pode variar livremente. Isso é feito encontrando o espaço nulo da equação 7x2 + x4 = 0 implies x4 = -7x2 , ou seja, as soluções homogêneas da equação x4 = -7s .
Vamos reescrever a equação homogênea:
t s u -7s = t 1 0 0 0 + s 0 1 0 -7 + u 0 0 1 0
Aqui, e são livres, então podemos expressá-los em termos de parâmetros. Vamos chamar , , e , onde , , e são quaisquer números reais.
Substituindo na equação:
Então, a solução geral pode ser escrita como:
Passo 4
Comparando com a representação dada na opção (F):
2 1 -1 -5 + span -7 0 1 0 , 0 0 0 5 , 0 -3 0 0
Vemos que o vetor específico 2 1 -1 -5 está correto. Agora, vamos analisar os vetores do span:
-7 0 1 0: Este vetor está relacionado à variação de 0 0 0 5, já que 0 -3 0 0 não afeta a equação principal.
: Este vetor permite ajustar mantendo constante.
: Este vetor ajusta sem alterar .
No entanto, comparando com nossa solução geral, percebemos que o span na opção (F) não coincide exatamente com os vetores que encontramos. Portanto, a representação da opção (F) não está correta.
Resposta
A opção (F) não representa corretamente o conjunto dos vetores que satisfazem .