O conjunto dos (x1, x2, x3, x4) in R^4 tais que 7 x2+x4=2 pode ser representado por:
(&) [r1 3 2 -19]+span[r0 1 0 -7],[r-5 0 0 0],[r0 0 -7 0]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descrever todos os vetores no espaço que satisfazem a equação . Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços afins e espaços vetoriais. Precisamos encontrar uma solução particular que satisfaça a equação e depois adicionar a combinação linear dos vetores que formam a solução do sistema homogêneo associado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma solução específica para a equação 7x2 + x4 = 2. Podemos escolher valores arbitrários para 7 times 3 + x4 = 2 implies 21 + x4 = 2 implies x4 = -19, 1 3 2 -19 e resolver para e . Vamos supor que e . Então, substituindo na equação:
Escolhemos , então:
Portanto, uma solução particular é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado, ou seja, resolver x1 x2 x3 x4 = 0 x2 0 -7x2 + -5a 0 -7b 0 . Isso significa que . As variáveis e são livres, então podemos atribuir quaisquer valores a elas.
Podemos expressar a solução geral como:

[


+

]
Aqui, e são parâmetros livres.

Passo 4

Vamos reescrever a solução geral de forma mais clara, combinando os parâmetros livres span 0 1 0 -7, -5 0 0 0, 0 0 -7 0 e 1 3 2 -19:
Isso significa que qualquer vetor que satisfaz pode ser escrito como a soma da solução particular mais uma combinação linear dos vetores no span acima.

Resposta

Sim, o conjunto dos 1 3 2 -19 + span 0 1 0 -7, -5 0 0 0, 0 0 -7 0 tais que pode ser representado por:

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