Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
[rrr|r1 & -2 & -2 & -1 1 & 0 & -4 & -2 2 & -2 & -2 & -4 -2 & 8 & 8 & k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
© -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha solução. Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, para simplificar a matriz e descobrir o valor que funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & -2 & -2 & | & -1 1 & 0 & -4 & | & -2 2 & -2 & -2 & | & -4 -2 & 8 & 8 & | & k

Passo 3

Vamos começar a eliminar as entradas abaixo do primeiro elemento da primeira coluna para simplificar a matriz. Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - Linha1:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 2 & -2 & | & -1 2 & -2 & -2 & | & -4 -2 & 8 & 8 & | & k

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento na terceira linha, primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 × Linha1:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 2 & -2 & | & -1 0 & 2 & 2 & | & -2 -2 & 8 & 8 & | & k

Passo 5

Eliminamos o elemento na quarta linha, primeira coluna. Adicionamos 2 vezes a primeira linha à quarta linha:
Linha4 = Linha4 + 2 × Linha1:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 2 & -2 & | & -1 0 & 2 & 2 & | & -2 0 & 4 & 4 & | & k - 2

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas dividindo por 2:
Linha2 = Linha2 ÷ 2:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 2 & 2 & | & -2 0 & 4 & 4 & | & k - 2

Passo 7

Eliminamos os elementos abaixo da segunda linha. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 × Linha2:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & 4 & | & -1 0 & 4 & 4 & | & k - 2

Passo 8

Fazemos o mesmo para a quarta linha, subtraindo 4 vezes a segunda linha:
Linha4 = Linha4 - 4 × Linha2:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & 4 & | & -1 0 & 0 & 8 & | & k

Passo 9

Agora, simplificamos a terceira linha dividindo por 4:
Linha3 = Linha3 ÷ 4:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & 1 & | & -0.25 0 & 0 & 8 & | & k

Passo 10

Finalmente, eliminamos o elemento na quarta linha, terceira coluna. Subtraímos 8 vezes a terceira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 8 × Linha3:
1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & 1 & | & -0.25 0 & 0 & 0 & | & k + 2

Resposta

Para que o sistema tenha solução, a última linha deve satisfazer . Portanto, .

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