Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:

Assinale o valor de de forma que o sistema tenha solução:
(A) -3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Para resolver isso, vamos usar operações com linhas de matrizes, uma técnica básica na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples usando operações de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 4

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda, terceira e quarta linhas para ter zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha.
  • Subtraia a primeira linha da segunda linha:
    Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
    Linha 3 = Linha 3 - 2×Linha 1
  • Adicione 2 vezes a primeira linha à quarta linha:
    Linha 4 = Linha 4 + 2×Linha 1

Passo 5

Agora, vamos simplificar as linhas 2, 3 e 4 para facilitar:
  • Divida a segunda linha por 2:
    Linha 2 = Linha 2 ÷ 2

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna (elementos das linhas 3 e 4):
  • Subtraia 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
    Linha 3 = Linha 3 - 2×Linha 2
  • Subtraia 4 vezes a segunda linha da quarta linha:
    Linha 4 = Linha 4 - 4×Linha 2

Passo 7

Agora, vamos focar nas últimas duas linhas para encontrar uma relação que envolva :
  • Observamos que temos duas equações:
  • Da primeira equação, podemos resolver para :

Passo 8

Substituindo o valor de na segunda equação:

Resposta

O valor de que faz o sistema ter solução é .

Exercícios relacionados

O conjunto dos tais que pode ser representado por:
(H)
O conjunto dos tais que pode ser representado por:
(F)
Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:

Assinale o valor de de forma que o sistema tenha solução:
© -1
Considere a matriz . Encontre, se existir .