Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
[rrr|r1 & -2 & -2 & -1 1 & 0 & -4 & -2 2 & -2 & -2 & -4 -2 & 8 & 8 & k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Para resolver isso, vamos usar operações com linhas de matrizes, uma técnica básica na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & -2 & -2 & | & -1 1 & 0 & -4 & | & -2 2 & -2 & -2 & | & -4 -2 & 8 & 8 & | & k

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples usando operações de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 4

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda, terceira e quarta linhas para ter zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha.
  • Subtraia a primeira linha da segunda linha:
    Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
    1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 2 & -2 & | & -1 2 & -2 & -2 & | & -4 -2 & 8 & 8 & | & k
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
    Linha 3 = Linha 3 - 2×Linha 1
    1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 2 & -2 & | & -1 0 & 2 & 2 & | & -2 -2 & 8 & 8 & | & k
  • Adicione 2 vezes a primeira linha à quarta linha:
    Linha 4 = Linha 4 + 2×Linha 1
    1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 2 & -2 & | & -1 0 & 2 & 2 & | & -2 0 & 4 & 4 & | & k - 2

Passo 5

Agora, vamos simplificar as linhas 2, 3 e 4 para facilitar:
  • Divida a segunda linha por 2:
    Linha 2 = Linha 2 ÷ 2
    1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 2 & 2 & | & -2 0 & 4 & 4 & | & k - 2

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna (elementos das linhas 3 e 4):
  • Subtraia 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
    Linha 3 = Linha 3 - 2×Linha 2
    1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & 4 & | & -1 0 & 4 & 4 & | & k - 2
  • Subtraia 4 vezes a segunda linha da quarta linha:
    Linha 4 = Linha 4 - 4×Linha 2
    1 & -2 & -2 & | & -1 0 & 1 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & 4 & | & -1 0 & 0 & 8 & | & k

Passo 7

Agora, vamos focar nas últimas duas linhas para encontrar uma relação que envolva :
  • Observamos que temos duas equações:
  • Da primeira equação, podemos resolver para :

Passo 8

Substituindo o valor de 8 ( -14 ) = k -2 = k na segunda equação:

Resposta

O valor de que faz o sistema ter solução é .

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