Seja uma matriz quadrada de ordem que satisfaz onde .
(a) Calcule o determinate de para os e 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada de ordem , ou seja, uma matriz com linhas e colunas. Os elementos dessa matriz são dados pela fórmula . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante dessa matriz para os casos , e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes de ordem e , temos fórmulas específicas para calcular o determinante, mas para matrizes maiores, usamos métodos como a expansão por cofatores ou a eliminação de Gauss.
Passo 3
Vamos começar com . A matriz fica assim:
Onde:
Vamos calcular cada elemento:
Para :
Para :
Para :
Para :
Então, a matriz para é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para uma matriz:
O determinante é calculado por .
Aplicando isso à nossa matriz :
Passo 5
Vamos passar para . A matriz fica:
Calculando cada elemento:
Então, a matriz para é:
Passo 6
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus para simplificar:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, para , a matriz fica:
Calculando cada elemento:
Então, a matriz para é:
Passo 8
Calcular o determinante de uma matriz pode ser um pouco mais trabalhoso. Vamos usar a expansão por cofatores. Escolheremos expandir pela primeira linha para simplificar os cálculos.
A fórmula para o determinante é:
Onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a -ésima coluna.
Vamos calcular cada termo:
Para :
Para :
Para :
Para :
Agora, precisamos calcular cada um desses determinantes , que já sabemos calcular usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.
Vou simplificar os cálculos aqui:
Após calcular todos os menores complementares e realizar as multiplicações e somas necessárias, chegamos ao determinante da matriz para .
Resposta
Após realizar os cálculos, o determinante da matriz é: