Seja A uma matriz quadrada de ordem n que satisfaz An=(ai j) onde ai j= (-1)^i+j(i-3 j).
(a) Calcule o determinate de A para os casos n=2,3 e 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada de ordem , ou seja, uma matriz com linhas e colunas. Os elementos dessa matriz são dados pela fórmula . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante dessa matriz para os casos , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes de ordem e , temos fórmulas específicas para calcular o determinante, mas para matrizes maiores, usamos métodos como a expansão por cofatores ou a eliminação de Gauss.

Passo 3

Vamos começar com A = a11 & a12 a21 & a22 . A matriz aij = (-1)^i+j(i - 3j) fica assim:
a11 = (-1)^1+1(1 - 3 times 1) = (-1)^2 (1 - 3) = 1 times (-2) = -2
Onde:
a12 = (-1)^1+2(1 - 3 times 2) = (-1)^3 (1 - 6) = -1 times (-5) = 5
Vamos calcular cada elemento:
Para a21 = (-1)^2+1(2 - 3 times 1) = (-1)^3 (2 - 3) = -1 times (-1) = 1 :
a22 = (-1)^2+2(2 - 3 times 2) = (-1)^4 (2 - 6) = 1 times (-4) = -4
Para A = -2 & 5 1 & -4 :
Para :
Para :
Então, a matriz para é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz a & b c & d . Para uma matriz:
det(A) = (-2)(-4) - (5)(1) = 8 - 5 = 3
O determinante é calculado por .
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 5

Vamos passar para A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 . A matriz a11 &= (-1)^1+1(1 - 3 times 1) = -2 a12 &= (-1)^1+2(1 - 3 times 2) = 5 a13 &= (-1)^1+3(1 - 3 times 3) = (-1)^4 (1 - 9) = 1 times (-8) = -8 a21 &= (-1)^2+1(2 - 3 times 1) = 1 a22 &= (-1)^2+2(2 - 3 times 2) = -4 a23 &= (-1)^2+3(2 - 3 times 3) = (-1)^5 (2 - 9) = -1 times (-7) = 7 a31 &= (-1)^3+1(3 - 3 times 1) = (-1)^4 (3 - 3) = 1 times 0 = 0 a32 &= (-1)^3+2(3 - 3 times 2) = (-1)^5 (3 - 6) = -1 times (-3) = 3 a33 &= (-1)^3+3(3 - 3 times 3) = (-1)^6 (3 - 9) = 1 times (-6) = -6 fica:
A = -2 & 5 & -8 1 & -4 & 7 0 & 3 & -6
Calculando cada elemento:
Então, a matriz para é:

Passo 6

Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus para simplificar:
det(A) &= (-2)[(-4)(-6) - (7)(3)] - 5[(1)(-6) - (7)(0)] + (-8)[(1)(3) - (-4)(0)] &= (-2)[24 - 21] - 5[-6 - 0] + (-8)[3 - 0] &= (-2)(3) - 5(-6) + (-8)(3) &= -6 + 30 - 24 &= 0
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, para A = a11 & a12 & a13 & a14 a21 & a22 & a23 & a24 a31 & a32 & a33 & a34 a41 & a42 & a43 & a44 , a matriz a11 &= (-1)^1+1(1 - 3 times 1) = -2 a12 &= (-1)^1+2(1 - 3 times 2) = 5 a13 &= (-1)^1+3(1 - 3 times 3) = -8 a14 &= (-1)^1+4(1 - 3 times 4) = (-1)^5 (1 - 12) = -1 times (-11) = 11 a21 &= (-1)^2+1(2 - 3 times 1) = 1 a22 &= (-1)^2+2(2 - 3 times 2) = -4 a23 &= (-1)^2+3(2 - 3 times 3) = 7 a24 &= (-1)^2+4(2 - 3 times 4) = (-1)^6 (2 - 12) = 1 times (-10) = -10 a31 &= (-1)^3+1(3 - 3 times 1) = 0 a32 &= (-1)^3+2(3 - 3 times 2) = 3 a33 &= (-1)^3+3(3 - 3 times 3) = -6 a34 &= (-1)^3+4(3 - 3 times 4) = (-1)^7 (3 - 12) = -1 times (-9) = 9 a41 &= (-1)^4+1(4 - 3 times 1) = (-1)^5 (4 - 3) = -1 times 1 = -1 a42 &= (-1)^4+2(4 - 3 times 2) = (-1)^6 (4 - 6) = 1 times (-2) = -2 a43 &= (-1)^4+3(4 - 3 times 3) = (-1)^7 (4 - 9) = -1 times (-5) = 5 a44 &= (-1)^4+4(4 - 3 times 4) = (-1)^8 (4 - 12) = 1 times (-8) = -8 fica:
A = -2 & 5 & -8 & 11 1 & -4 & 7 & -10 0 & 3 & -6 & 9 -1 & -2 & 5 & -8
Calculando cada elemento:
Então, a matriz para é:

Passo 8

Calcular o determinante de uma matriz det(A) = sumj=1^4 (-1)^1+j a1j cdot M1j pode ser um pouco mais trabalhoso. Vamos usar a expansão por cofatores. Escolheremos expandir pela primeira linha para simplificar os cálculos.
A fórmula para o determinante é:
(-1)^1+1 cdot (-2) cdot det -4 & 7 & -10 3 & -6 & 9 -2 & 5 & -8
Onde (-1)^1+2 cdot 5 cdot det 1 & 7 & -10 0 & -6 & 9 -1 & 5 & -8 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a (-1)^1+3 cdot (-8) cdot det 1 & -4 & -10 0 & 3 & 9 -1 & -2 & -8 -ésima coluna.
Vamos calcular cada termo:
  1. Para (-1)^1+4 cdot 11 cdot det 1 & -4 & 7 0 & 3 & -6 -1 & -2 & 5 :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, precisamos calcular cada um desses determinantes , que já sabemos calcular usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.
Vou simplificar os cálculos aqui:
Após calcular todos os menores complementares e realizar as multiplicações e somas necessárias, chegamos ao determinante da matriz para .

Resposta

Após realizar os cálculos, o determinante da matriz é:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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