Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma sequência definida pela lei de recorrência:
Sabemos que . A pergunta é: qual deve ser o valor de para que, quando tende ao infinito, ?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e limites de sequências recursivas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a sequência em termos de vetores. Definimos:
Com essa definição, a relação de recorrência pode ser escrita como uma multiplicação de matriz:
Essa matriz é chamada de matriz de transição, e ela nos ajuda a expressar como cada termo da sequência depende dos anteriores.
Passo 3
Para encontrar o comportamento da sequência quando tende ao infinito, precisamos analisar os autovalores (valores próprios) da matriz de transição. Os autovalores determinam se os componentes da sequência vão para zero, crescer ou oscilar.
Vamos chamar a matriz de transição de :
Os autovalores de são encontrados resolvendo o determinante da matriz :
Passo 4
Calculando o determinante:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores:
Calculando os valores:
Então:
Passo 5
Agora que temos os autovalores e , observamos que um deles é maior que 1 e o outro menor que 1. Para que , todos os termos dominantes na sequência devem tender a zero.
Isso acontece somente se a componente associada ao autovalor maior () tenha o coeficiente igual a zero. Assim, precisamos garantir que a combinação linear dos autovalores não inclua .
Passo 6
Vamos escrever a solução geral da sequência. Como temos dois autovalores distintos, a solução é da forma:
Para que tenda a zero quando tende ao infinito, o coeficiente deve ser zero (senão, cresce para infinito).
Passo 7
Usamos as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que: