Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-2 xn+515 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=25, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cxn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -2 & 51 / 5 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -2 & 51 / 5]^n v1.
(A) 6
(B) 5
© 9
(D) 3
(E) 8
(F) 2
(G) 7
(H) 4
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma sequência definida pela lei de recorrência:
xn+2 = -2 xn + 515 xn+1, n=1,2,3,ldots
Sabemos que x1 = 25. A pergunta é: qual deve ser o valor de x2 para que, quando n tende ao infinito, lim n infty xn=0?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e limites de sequências recursivas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a sequência em termos de vetores. Definimos:
vn = xn xn+1
Com essa definição, a relação de recorrência pode ser escrita como uma multiplicação de matriz:
vn+1 = 0 & 1 -2 & 515 vn
Essa matriz é chamada de matriz de transição, e ela nos ajuda a expressar como cada termo da sequência depende dos anteriores.

Passo 3

Para encontrar o comportamento da sequência quando n tende ao infinito, precisamos analisar os autovalores (valores próprios) da matriz de transição. Os autovalores determinam se os componentes da sequência vão para zero, crescer ou oscilar.
Vamos chamar a matriz de transição de A:
A = 0 & 1 -2 & 515
Os autovalores lambda de A são encontrados resolvendo o determinante da matriz (A - lambda I) = 0:
det( -lambda & 1 -2 & 515 - lambda ) = 0

Passo 4

Calculando o determinante:
(-lambda)( 515 - lambda ) - (1)(-2) = 0 -515lambda + lambda^2 + 2 = 0 lambda^2 - 515lambda + 2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda = 515 pm raiz ( 515 )^2 - 8 2
Calculando os valores:
( 515 )^2 = 260125 raiz 260125 - 8 = raiz 2601 - 20025 = raiz 240125 = 495
Então:
lambda = 515 pm 495 2 lambda1 = 10010 = 10 lambda2 = 210 = 15

Passo 5

Agora que temos os autovalores lambda1 = 10 e lambda2 = 15, observamos que um deles é maior que 1 e o outro menor que 1. Para que limn infty xn = 0, todos os termos dominantes na sequência devem tender a zero.
Isso acontece somente se a componente associada ao autovalor maior ( lambda1 = 10) tenha o coeficiente igual a zero. Assim, precisamos garantir que a combinação linear dos autovalores não inclua lambda1.

Passo 6

Vamos escrever a solução geral da sequência. Como temos dois autovalores distintos, a solução é da forma:
xn = C1 cdot lambda1^n + C2 cdot lambda2^n xn = C1 cdot 10^n + C2 cdot ( 15 )^n
Para que xn tenda a zero quando n tende ao infinito, o coeficiente C1 deve ser zero (senão, 10^n cresce para infinito).

Passo 7

Usamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2. Sabemos que:
x1 = 25 = C1 cdot 10^1 + C2 cdot ( 15 )^1 x2 = valor que queremos encontrar = C1 cdot 10^2 + C2 cdot ( 15 )^2
Como C1 = 0, temos:
25 = 0 + C2 cdot 15 C2 = 25 cdot 5 = 125
Então:
x2 = 0 + 125 cdot 125 = 5

Resposta

O valor de x2 que satisfaz lim n infty xn=0 é 5.

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