Um conjunto de tensões sequência abc alimenta um sistema trifásico Y-Y equilibrado. Se Va n=440 / 30^circ V rms, VA N=413,28 ang<= 29,78^circ V rms e Z linha =1,2+j 1,5 Omega, determine a impedância de carga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema envolve um sistema trifásico equilibrado ligado em configuração Y-Y (estrela-estrela). A gente tem algumas tensões e uma impedância de linha, e o que precisamos descobrir é a impedância de carga. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas trifásicos equilibrados, análise de fasores e impedâncias em circuitos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as tensões que foram dadas:
  • VLL = raiz3 times VFP ang<= 30^circ V (rms): Essa é a tensão de fase entre a fase ‘a’ e o neutro.
  • V (rms): Essa é a tensão de linha entre as fases A e N.
Como o sistema é equilibrado e está em configuração Y-Y, podemos relacionar as tensões de fase e de linha. Em sistemas equilibrados, a tensão de linha está relacionada com a tensão de fase por:

Passo 3

Vamos usar essa relação para achar a tensão de fase:
VFP = VLLraiz3 ang<= -30^circ
Mas antes disso, note que a tensão já está dada como 413,28 V com um ângulo de 29,78°, que é ligeiramente diferente da fórmula padrão devido possivelmente a algum desbalanceamento ou fase adicional. Contudo, como o sistema é equilibrado, podemos seguir com a relação padrão para simplificar.

Passo 4

Vamos calcular a tensão de fase VFP = 413,28raiz3 ang<= (29,78^circ - 30^circ) :
413,28raiz3 approx 238,7 V
Calculando o módulo:
29,78^circ - 30^circ = -0,22^circ
E o ângulo:
VFP approx 238,7 ang<= -0,22^circ V
Então:

Passo 5

Agora, vamos considerar a impedância de linha Van = VFP + I times Zlinha . Essa é a impedância que está entre a fonte e a carga. Para encontrar a impedância de carga, precisamos considerar a queda de tensão causada pela impedância de linha.
A relação entre a tensão da fonte , a tensão na carga , a impedância de linha e a corrente é dada por:

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para encontrar a corrente I = Van - VFPZlinha :
I = 440 ang<= 30^circ - 238,7 ang<= -0,22^circ1,2 + j1,5
Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Para simplificar os cálculos, vamos converter as tensões para a forma retangular:
Van - VFP = (381,04 - 238,3) + j(220 + 0,9) approx 142,74 + j220,9 V V
V
Agora, a diferença:

Passo 8

Vamos agora calcular a corrente I = 142,74 + j220,91,2 + j1,5 :
I = (142,74 + j220,9)(1,2 - j1,5)(1,2 + j1,5)(1,2 - j1,5)
Para dividir dois números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Conjugado de (1,2)^2 + (1,5)^2 = 1,44 + 2,25 = 3,69
Assim:
142,74 times 1,2 = 171,29
Calculando o denominador:
142,74 times (-j1,5) = -j214,11
Calculando o numerador:
j220,9 times 1,2 = j265,08
j220,9 times (-j1,5) = 331,35
171,29 + 331,35 + j(265,08 - 214,11) = 502,64 + j50,97
I = 502,64 + j50,973,69 approx 136,25 + j13,8 A (já que )
Somando tudo:
Então:

Passo 9

Agora que temos a corrente, podemos encontrar a impedância de carga Zcarga = VFPI . Em um sistema Y-Y equilibrado, a impedância de carga por fase é dada por:
VFP approx 238,7 ang<= -0,22^circ approx 238,7 - j0,93 V
Convertendo I approx 136,25 + j13,8 A e Zcarga = 238,7 - j0,93136,25 + j13,8 para a forma complexa:
Então:

Passo 10

Vamos realizar a divisão de números complexos:
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Conjugado de Zcarga = (238,7 - j0,93)(136,25 - j13,8)(136,25 + j13,8)(136,25 - j13,8)
Assim:
136,25^2 + 13,8^2 = 18560,06 + 190,44 approx 18750,5
Calculando o denominador:
238,7 times 136,25 = 32474,38
Calculando o numerador:
238,7 times (-j13,8) = -j3289,86
(-j0,93) times 136,25 = -j126,86
(-j0,93) times (-j13,8) = 12,834
32474,38 + 12,834 + j(-3289,86 - 126,86) approx 32487,214 - j3416,72
Somando tudo:
Zcarga = 32487,214 - j3416,7218750,5 approx 1,73 - j0,182 Omega
Então:

Resposta

A impedância de carga é aproximadamente .

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