Determine a carga total que entra em um terminal de um elemento entre os instantes t=1 se t=2 s se a corrente que passa pelo terminal é i=(3 t^2-t) ampères. RESP: 5,5 C.

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos encontrar a carga total ( Q) que entra no terminal de um elemento elétrico entre os instantes de tempo t = 1 , s e t = 2 , s. A corrente que passa pelo terminal é dada por i(t) = 3t^2 - t ampères. Para resolver isso, vamos usar o conceito de que a carga elétrica é a integral da corrente em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga total ( Q) é calculada integrando a corrente ( i(t)) ao longo do intervalo de tempo considerado. A fórmula para isso é:
Q = integralt1^t2 i(t) , dt
Onde:
  • Q é a carga total,
  • i(t) é a corrente em função do tempo,
  • t1 e t2 são os instantes iniciais e finais, respectivamente.

Passo 3

Substituindo os valores que temos no problema:
Q = integral1^2 (3t^2 - t) , dt

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. A integral de uma soma é a soma das integrais, então podemos separar:
Q = integral1^2 3t^2 , dt - integral1^2 t , dt
Calculando cada parte:
  1. Para integral 3t^2 , dt:
    integral 3t^2 , dt = 3 cdot t^33 = t^3
  2. Para integral t , dt:
    integral t , dt = t^22
Portanto:
Q = [t^3]1^2 - [t^22]1^2

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites da integral:
  1. Calculando [t^3]1^2:
    2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7
  2. Calculando [t^22]1^2:
    2^22 - 1^22 = 42 - 12 = 2 - 0,5 = 1,5
Então, substituindo de volta:
Q = 7 - 1,5 = 5,5 , C

Resposta

A carga total que entra no terminal entre t = 1 , s e t = 2 , s é de 5,5 , C.

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